Em um encontro, 4 amigas se reúnem, sendo cada uma delas mãe de um único filho. Com exceção de Marta, as demais amigas tiveram filho quando tinham 29 anos de idade. A média aritmética das idades dessas 4 amigas é igual a 52 anos, e a média aritmética das idades dos 4 filhos dessas amigas é igual a 21 anos. A idade que Marta tinha quando seu filho nasceu era
A) 39 anos.
B) 31 anos.
C) 33 anos.
D) 37 anos.
E) 35 anos.
Resolução
Queremos saber a idade que Marta tinha quando o seu filho nasceu, porém temos informações sobre as idades atuais das 4 mães, como podemos trabalhar nesse caso?
Se pensarmos que a idade de uma mãe atualmente é igual a soma da idade de seu filho com a idade da mãe à época de seu nascimento podemos fazer a seguinte relação:
\(M_h = M_n + F_m\), onde:
- \(M_h\) = idade atual de Marta
- \(M_n\) = idade de Marta no nascimento de seu filho
- \(F_m\) = idade atual do filho de Marta.
Para as outras três amigas, temos as seguintes relações:
\(A_h = A_n + F_a\), onde:
- \(A_h\) = idade atual de cada uma das amigas
- \(A_n \) = idade de cada uma das amigas no nascimento de seus filhos
- \(F_a\) = idade atual de cada um dos filhos das amigas.
Agora, vamos trabalhar com as médias informadas.
\[\dfrac{F_m + 3\cdot F_a}{4} = 21\]
\[ F_m + 3\cdot F_a = 4\cdot 21\]
\[F_m + 3 \cdot F_a = \fbox{84}\]
As três amigas tinha 29 anos quando seus filhos nasceram, logo \(A_n = \fbox{29}\).
\[ \dfrac{M_h + 3\cdot A_h}{4} = 52 \]
Fazendo as devidas substituições:
\[ \dfrac{M_n + F_m + 3\cdot (A_n + F_a)}{4} = 52 \]
\[ M_n + F_m +3\cdot A_n + 3\cdot F_a =4\cdot 52\]
Um pequeno rearranjo para melhor visualização:
\[ M_n + 3\cdot \underbrace{A_n}_{29} + \underbrace{F_m +3 \cdot F_a}_{84} =4\cdot 52\]
\[ M_n + 3\cdot 29 + 84 = 208\]
\[ M_n + 87 + 84 = 208\]
\[ M_n + 171 = 208\]
\[ M_n = 208-171\]
\[ M_n = \fbox{37} \]
Portanto, a idade que Marta tinha quando seu filho nasceu era 37 anos.
Gabarito
Alternativa D) 37 anos.
💡 Dica do Professor LG
A relação [ Idade atual = Idade no nascimento + Idade do filho ] conecta três grandezas temporais numa única equação.
Identificar essa relação antes de montar o sistema é a chave para economizar tempo e reduzir o número de operações algébricas em questões que misturam idades atuais com idades passadas.