Em determinada semana, na segunda-feira, considerando o total de usuários de uma estação de metrô, a razão entre o número dos que partiram da estação e o número dos que chegaram a essa mesma estação foi \(\dfrac{11}{14} \). Na terça-feira, chegaram a essa estação 700 pessoas a mais do que na segunda-feira, e o número dos que partiram dela manteve-se o mesmo, de modo que, nesse dia, a razão entre o número dos que partiram e o número dos que chegaram foi \(\dfrac{11}{15}\). Na segunda-feira, a soma do número de usuários que chegaram à estação com o número de usuários que partiram dela foi
(A) 17 500.
(B) 18 000.
(C) 18 500.
(D) 19 000.
(E) 19 500.
Resolução:
Vamos usar a seguinte notação:
\( P_2\): Partiram na segunda-feira
\( P_3\): Partiram na terça-feira
\( C_2\): Chegaram na segunda-feira
\( C_3\): Chegaram na terça-feira
O objetivo da questão é determinar a quantidade de usuários que chegaram e que partiram na segunda-feira, ou seja, precisamos obter a soma \(C_2 + P_2\).
De acordo com o enunciado, temos:
Segunda-feira:
\[ \dfrac{P_2}{C_2} = \dfrac{11}{14} \]
\[ 14P_2 = 11C_2 \qquad(I)\]
Terça-feira:
\[ C_3 = C_2 + 700\]
\[ P_3 = P_2 \]
\[ \dfrac{P_3}{C_3} = \dfrac{11}{15} \]
\[ 15P_3 = 11C_3 \]
Escrevendo essa equação em termos de \(P_2\) e \(C_2\):
\[ 15P_2 = 11\cdot (C_2 + 700) \]
\[ 15P_2 = 11 C_2 + 7700 \qquad(II) \]
Substituindo (I) em (II):
\[ 15P_2 = 14 P_2 + 7700 \]
\[ 15P_2 – 14 P_2 = 7700 \]
\[ P_2 = \fbox{7700} \]
Por (I), temos:
\[ C_2 = \dfrac{14P_2}{11} \]
\[ C_2 = \dfrac{14\cdot 7700}{11} \]
Como \( 7700 \div 11 = 700 \):
\[ C_2 = 14\cdot 700 \]
\[C_2 = \fbox{9800}\]
Agora, nós já temos o que precisávamos para obter a soma \(C_2 + P_2 \):
\[C_2 + P_2 = 9800 + 7700 \]
\[C_2 + P_2 = \fbox{17500} \]
Alternativa (A) 17 500.
💡 Dica do professor LG
Quando multiplicamos em cruz as proporções informadas no enunciado, obtivemos equações em linha, essa escolha nos traz facilidade na manipulação algébrica das equações resultantes.
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