No plano, AC é o lado comum entre o triângulo retângulo ABC e o retângulo ACEF, e o segmento BF intersecta o lado AC no ponto D, conforme mostra a figura.
Sabendo que \( \textrm{tg } \alpha = \dfrac{10}{9} \) e \( \textrm{tg } \beta = \dfrac{1}{2} \), a área do triângulo ABF é
(A) 36 cm².
(B) 40 cm².
(C) 45 cm².
(D) 48 cm².
(E) 54 cm².
Resolução
Para obtermos a área do triângulo \( ABF \) , vamos subtrair da área do trapézio \( ABEF \) a área do triângulo \(BEF\).
Vamos determinar as medidas dos segmentos:
\( \begin{cases} BC = x \\ CE = AF = y \end{cases} \)
Pelo caso de ângulos alternos internos, temos:
\( A \hat{F}B = F\hat{B}E = \beta \)
No triângulo \( ABC \), temos:
$$ \textrm{tg }\alpha = \dfrac{x}{9} $$
Usando: \( \textrm{tg } \alpha = \dfrac{10}{9} \)
$$ \dfrac{x}{9} = \dfrac{10}{9} $$
$$ x = \dfrac{9 \cdot 10}{9}$$
$$ x = \fbox{10} $$
No triângulo \( BEF \) , temos:
$$ \textrm{tg } \beta = \dfrac{9}{x+y} = \dfrac{9}{10+y} $$
Usando: \( \textrm{tg } \beta = \dfrac{1}{2} \)
$$ \dfrac{9}{10+y} = \dfrac{1}{2}$$
$$10+y = 9\cdot 2$$
$$ y = 18 – 10$$
$$ y = \fbox{8} $$
Cálculo das áreas:
Área do Trapézio \( ABEF \):
$$A_{ABEF} = \dfrac{(8+18)\cdot 9}{2} $$
$$A_{ABEF} = \dfrac{26\cdot 9}{2} $$
$$A_{ABEF} = 13\cdot 9 $$
$$A_{ABEF} = \fbox{117} $$
Área do Triângulo \(BEF\):
$$A_{BEF} = \dfrac{9\cdot (10+8)}{2} $$
$$A_{BEF} = \dfrac{9\cdot 18}{2} $$
$$A_{BEF} = 9\cdot 9 $$
$$A_{BEF} = \fbox{81} $$
Área do Triângulo \(ABF\)
$$ A_{ABF} = A_{ABEF} – A_{BEF} $$
$$ A_{ABF} = 117 – 81 $$
$$ A_{ABF} = \fbox{36} $$
O que nos dá como alternativa de gabarito: (A) 36 cm².