A quantidade de cafeína em uma xícara padrão de café das marcas A e B corresponde, respectivamente, a 10% e a 4% da quantidade de cafeína em uma xícara padrão de café da marca C. Se (x, y) denota o par ordenado de inteiros não negativos tais que o consumo de x xícaras de tamanho padrão da marca A junto com y xícaras de tamanho padrão da marca B corresponda à mesma ingestão de cafeína de 1 xícara padrão de café da marca C, então o número de possibilidades distintas para (x, y) é igual a
(A) 5.
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 9.
RESOLUÇÃO
O objetivo desta questão é achar uma combinação de quantidades inteiras e não negativas de A e B que chegue em 100% da quantidade de cafeína de uma xícara C.
Esse tipo de problema envolve um tipo de equação polinomial chamada de Equação Diofantina Linear💡, vamos modelar esse problema.
Sabemos que cada xícara A possui 10% da quantidade de cafeína de uma xícara C e cada xícara B possui 4%, para termos a 100% de uma xícara C, a quantidade total de xícaras A e B devemos montar a equação:
\[10x + 4y = 100\]
Para verificarmos se essa equação possui soluções inteiras, calculamos o MDC(10,4) = 2 e, como 2 é um divisor de 100, a equação possui infinitas soluções inteiras.
Como queremos apenas soluções não negativas, vamos olhar os extremos onde conseguimos zerar a quantidade de uma das xícaras (A ou B):
\( 100\% \div 10\% = 10 \), isso implica que com 10 xícaras de A eu tenho 100% da quantidade desejada.
\( 100\% \div 4\% = 25 \), isso implica que com 25 xícaras de B eu tenho a quantidade desejada.
Calculando o MMC(10,4) = 20, temos que é possível substituir 2 xícaras de A com 5 xícaras de B, pois em ambos os casos teremos 20% da quantidade de C.
Isso nos dá uma tabela com xícaras de A e de B e o par ordenado (x,y)
| A(%) | B(%) | A | B | (x,y) |
|---|---|---|---|---|
| 100 | 0 | 10 | 0 | (10,0) |
| 80 | 20 | 8 | 5 | (8,5) |
| 60 | 40 | 6 | 10 | (6,10) |
| 40 | 60 | 4 | 15 | (4,15) |
| 20 | 80 | 2 | 20 | (2,20) |
| 0 | 100 | 0 | 25 | (0,25) |
Temos, portanto 6 possibilidades distintas para (x,y)
Gabarito
Alternativa (C) 6.
💡 Dica do Professor LG
Equações Diofantinas Lineares com duas incógnitas possuem coeficientes inteiros e podem ser escritas na forma \(ax+by = c\), com \( a,b \neq 0\).
O critério de existência de soluções inteiras é que \(MDC(a,b)\) deve ser um divisor de \(c \).
Em casos como o da questão onde precisamos encontrar todas as soluções não negativas, zeramos uma das variáveis e usamos o \(MMC(a,b)\) para determinar uma taxa de substituição entre as variáveis.