As bebês Lalá, Lelé e Lili são trigêmeas e, toda noite, cada uma delas usa um pijama e uma touca. Todos os pijamas e todas as toucas dessas bebês são iguais e a mãe delas sempre coloca, em cada uma, o pijama antes da touca, mas não coloca em uma mesma bebê, necessariamente, a touca imediatamente após colocar o pijama, de modo que a única condição para uma bebê vestir a touca é já estar de pijama.
Por exemplo, a mãe pode primeiro colocar o pijama em todas elas e depois, em qualquer ordem, colocar as toucas.
O número de maneiras ordenadas diferentes de essa mãe colocar os pijamas e as toucas em suas filhas é
(A) 360.
(B) 120.
(C) 480.
(D) 90.
(E) 720.
Resolução
Modo I
Inicialmente, vamos nomear os pijamas e as toucas das trigêmeas.
| Nome | Pijama | Touca |
|---|---|---|
| Lalá | \( p_a\) | \( t_a \) |
| Lelé | \( p_e\) | \( t_e \) |
| Lili | \( p_i\) | \( t_i \) |
A exigência é que em cada uma das irmãs, a mãe coloque primeiro o pijama e depois a touca.
Se não houvesse essa restrição, seria uma permutação simples de 6 elementos: \(p_a, p_e, p_i, t_a, t_e, t_i \).
\[ P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \]
❌ Cuidado com a alternativa (E) 720
Pela restrição, devemos ter: \( \begin{cases} p_a \text{ antes de }t_a \\ p_e \text{ antes de }t_e \\ p_i \text{ antes de }t_i \end{cases}\).
Mas, para cada combinação com \(p_a \text{ antes de }t_a\), temos uma correspondente com \( t_a \text{ antes de }p_a\). Dessa forma, para contarmos cada uma dessas possibilidades como uma só, dividimos o total de permutações por 2.
Como o mesmo acontece com \(p_e,t_e\) e \(p_i,t_i\), para garantir que cada uma das possibilidades correspondentes seja contada como uma só, dividimos o total de permutações por \(2\cdot 2\cdot 2 = 2^3\).
Sendo assim, chamando de \(M\) o número de maneiras diferentes que essa mãe pode colocar os pijamas e as toucas em suas trigêmeas, temos:
\[M = \dfrac{6!}{2^3} \]
\[M = \dfrac{720}{8} \]
\[M = \fbox{90} \]
Alternativa (D) 90.✅
Modo II
Outra maneira de resolver essa questão é tirar o foco do pijama e da touca e colocar o foco nas irmãs.
A mãe irá colocar o pijama e a touca já na ordem que ela sempre faz, mas irá pegar cada uma das irmãs duas vezes, ou seja, Chamando Lalá de A, Lelé de E e Lili de I, temos:
\[ AAEEII\]
Precisamos calcular uma permutação de 6 elementos com 2, 2 e 2 repetições:
\[P^{2,2,2}_6 = \dfrac{6!}{2!\cdot 2! \cdot 2!}\]
Como \(6! = 720\) e \(2! = 2\), temos:
\[P^{2,2,2}_6 = \dfrac{720}{2\cdot 2 \cdot 2}\]
\[P^{2,2,2}_6 = \dfrac{720}{8}\]
\[P^{2,2,2}_6 = \fbox{90}\]
O que confirma: Alternativa (D) 90.✅
📚 Quer aprofundar nesse tema ajudando esse projeto educativo ? Utilize o meu link Amazon e adquira a recomendação do Professor LG:
Capítulo Análise Combinatória do 📙Fundamentos de Matemática Elementar — Volume 5, Combinatória e Probabilidade.