Um jogo é formado por uma rampa que contém 9 buracos, numerados de 0 a 8 e conectados por caminhos, conforme mostra a figura. Nessa figura os possíveis caminhos que ligam os buracos são representados por meio de segmentos tracejados ou contínuos. O objetivo do jogo é uma pessoa soltar uma bola do buraco zero e tentar prever os caminhos que esta fará até chegar a um dos buracos 6, 7 ou 8. Nessa rampa a bola sempre avança para um buraco de número mais alto, de maneira que a probabilidade de ela ir por um caminho representado por um segmento contínuo é igual a \( \dfrac{1}{2}\), e a probabilidade de ela ir por um caminho representado por um segmento tracejado é igual a \(\dfrac{1}{4}\).
Uma pessoa vai soltar uma bola e previu que ela fará o caminho 0-1-3-7 ou o caminho 0-4-8. A probabilidade de essa pessoa acertar sua previsão é igual a
A) \( \dfrac{3}{8} \)
B) \( \dfrac{1}{4} \)
C) \( \dfrac{1}{8} \)
D) \( \dfrac{5}{16}\)
E) \( \dfrac{3}{16} \)
Resolução
Observando a figura, podemos identificar os dois tipos de caminhos:
Contínuos \( \begin{cases} 0 \to 4 \\ 1\to 3 \\ 1\to 4 \\ 2 \to 4 \\ 2\to 5 \\ 3\to 6 \\ 3 \to 7 \\ 4 \to 7 \\ 5 \to 7 \\ 5 \to 8 \end{cases} \)
Tracejados \( \begin{cases} 0 \to 1 \\ 0 \to 2 \\ 4 \to 6 \\ 4 \to 8 \end{cases} \)
Sabemos que as probabilidades de ir por um caminho Contínuo ou por um caminho Tracejado são dadas por \(P(C) = \dfrac{1}{2}\) e \(P(T) =\dfrac{1}{4}\).
Traduzindo os caminhos completos em seus trechos, temos \( \begin{cases}0 \to 1 \to 3 \to 7 = T C C \\ 0 \to 4 \to 8 = C T \end{cases} \)
A probabilidade pedida será dada por:
\[ P[(T \cap C \cap C) \cup (C \cap T) ] = \left( \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right)\]
\[ P[(T \cap C \cap C) \cup (C \cap T) ] = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{8} \]
\[ P[(T \cap C \cap C) \cup (C \cap T) ] = \dfrac{1+2}{16} \]
\[ P[(T \cap C \cap C) \cup (C \cap T) ] = \dfrac{3}{16} \]
Gabarito:
Alternativa E) \( \dfrac{3}{16} \)
💡 Dica do Professor LG
Interpretamos \( P[(T \cap C \cap C) \cup (C \cap T) ] \) como a probabilidade de pegarmos um caminho (Tracejado E Contínuo E Contínuo) OU (Contínuo E Tracejado).
A intersecção\( (\cap) \) vira “E” e a união \((\cup)\) vira “OU”. Daí para o “E” usamos o princípio multiplicativo e para o “OU” o princípio aditivo.