Ana, Beto e Cléo fizeram as seguintes afirmações a respeito de cálculos com porcentagem, em que x e y são valores positivos:
- Ana: “x% de y é sempre igual a y% de x”.
- Beto: “Um desconto de x% sobre y, seguido de um acréscimo de x% sobre o valor após o desconto, sempre resulta em y”.
- Cléo: “Dar um desconto de x% sobre y sempre resulta em \( \frac{(100-x)y}{100} \) ” .
Está correto o que foi afirmado por
(A) Ana e Cléo, apenas.
(B) Cléo, apenas.
(C) Beto e Cléo, apenas.
(D) Beto, apenas.
(E) Ana, Beto e Cléo.
Resolução:
Vamos analisar as afirmações
Ana: “x% de y é sempre igual a y% de x”.
\[\dfrac{x}{100}\cdot y = \dfrac{x\cdot y}{100} \]
\[\dfrac{x}{100}\cdot y = \dfrac{y \cdot x}{100} \]
\[\dfrac{x}{100}\cdot y = \dfrac{y}{100} \cdot x \]
Portanto, a afirmação de Ana é Verdadeira.
Beto: “Um desconto de x% sobre y, seguido de um acréscimo de x% sobre o valor após o desconto, sempre resulta em y”.
Trabalhando de forma algébrica, teríamos:
\[ y \cdot \dfrac{100 – x}{100} \cdot \dfrac{100 + x}{100} = y \cdot \dfrac{(100-x)\cdot (100+x)}{100^2} \]
\[ y \cdot \dfrac{(100-x)\cdot (100+x)}{100^2} = y \cdot \dfrac{100^2 – x^2}{100^2}\]
E esse resultado \(y \cdot \dfrac{100^2 – x^2}{100^2}\) só seria igual a y, se \(\dfrac{100^2 – x^2}{100^2} \) for igual a 1, porém esse fato só ocorreria para \(x = 0\), o que contradiz a afirmação de que sempre resulta em y.
Esse tipo de afirmação é uma pegadinha clássica e para mostrar sua falsidade bastaria usarmos um contraexemplo com valores escolhidos arbitrariamente.
“Um desconto de 10% sobre 100, seguido de um acréscimo de 10% sobre o valor após o desconto, sempre resulta em 100”.
\[ 100 \cdot \dfrac{100 – 10}{100} = 100 \cdot \dfrac{90}{100} = \fbox{90} \]
\[ 90 \cdot \dfrac{100+10}{100} = 90\cdot \dfrac{110}{100} = \fbox{99} \]
Se tivermos um produto que custa R$ 100,00 e dermos um desconto de 10% ele custará R$ 90,00 e se a este valor acrescentarmos 10% o valor final será R$ 99,00, diferente dos R$ 100,00 iniciais, logo a afirmação de Beto é Falsa.
Cléo: “Dar um desconto de x% sobre y sempre resulta em \( \dfrac{(100-x)y}{100} \) ” .
Dar um desconto de x%, significa de que do todo 100% vamos subtrair x%, ou seja, o fator será:
\[ \dfrac{100}{100} – \dfrac{x}{100} = \dfrac{100-x}{100} \]
Como o desconto é sobre y, vamos multiplicar esse fator por y:
\[ \dfrac{100-x}{100} \cdot y = \dfrac{(100-x)y}{100} \]
Sendo assim, a afirmação de Cléo é Verdadeira.
Temos o seguinte resultado:
- Ana (V)
- Beto (F)
- Cléo (V)
Gabarito
Alternativa (A) Ana e Cléo, apenas.
💡 Dica do Professor LG
Quando precisamos testar a validade de uma afirmação universal do tipo “sempre resulta em y”, basta mostrarmos um caso onde ela falha e, para isso, escolhemos valores simples como \(x = 10\) e \(y = 100\), se esse único resultado contradiz a afirmação, já podemos valorá-la como falsa sem a necessidade do desenvolvimento algébrico completo.