Admita que cada um dos tons de qualquer uma das três cores primárias seja definido por um número inteiro de 0 a 255. Sobrepondo-se duas cores primárias diferentes, com seus respectivos tons, o resultado sempre será uma cor inédita. Sobrepondo-se uma cor primária a ela mesma, o resultado será uma cor inédita apenas quando a sobreposição for entre cores primárias iguais mas de tons diferentes. Nessas condições, o número de cores inéditas que podemos produzir com a sobreposição de duas cores primárias, sejam elas iguais ou diferentes, é
(A) \(2^{16} \cdot 3 + 2^{17} = 327 680\)
(B) \(2^{15} \cdot 3 + 2^{17} = 229 376\)
(C) \(2^8 \cdot (2^8 – 1) \cdot 3 + 2^{16} \cdot 3 = 392 448 \)
(D) \(2^8 \cdot (2^8 – 1) \cdot 3 + 2^{17} = 326 912\)
(E) \(2^{17} \cdot 3 = 393 216\)
Resolução
A quantidade de tons diferentes de cada uma das cores é igual a 256, mas ao observarmos as alternativas podemos perceber que todas elas usando potências de base 2. Por esse motivo, vamos fatorar esse número.
\[ \begin{array}{r|l} 256 & 2 \\ 128 & 2 \\ 64 & 2 \\ 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & \end{array} \Longrightarrow 256 = 2^8 \]
Agora vamos cuidar das quantidades de casos distintos, notando que temos duas possibilidades para criarmos cores inéditas
- Escolher tons de duas cores diferentes
- Escolher dois tons diferentes da mesma cor
Vamos ver quantas possibilidades há em cada caso e depois somar os dois resultados.
Caso I (tons de duas cores diferentes)
A quantidade de maneiras distintas de se escolher duas cores diferentes é igual a 3 e, para isso não é preciso nenhum cálculo completo de combinação, basta pensarmos que escolher duas cores entre três é o mesmo que escolher que uma dentre as três cores não faça parte da combinação.
A quantidade de maneiras distintas de se obter uma cor inédita nesse caso é dada por:
\[ 3 \cdot \underbrace{2^8}_{\text{cor 1}} \cdot \underbrace{2^8}_{\text{cor 2}} = 3 \cdot 2^{16}\]
Caso II (dois tons diferentes da mesma cor)
A quantidade de escolher uma cor entre três é igual a três e, em seguida deve-se escolher dois tons entre 256, sem importar a ordem, teremos uma combinação:
\[C_{256,2} = \dfrac{256!}{2! (256 – 2)!} \\ C_{256,2} = \dfrac{256 \cdot 255 }{2} \]
Colocando nos termos das alternativas
\[C_{256,2} = \dfrac{2^8 \cdot (2^8 – 1)}{2} \]
A quantidade de maneiras distintas de se obter uma cor inédita nesse caso é dada por:
\[ 3 \cdot \dfrac{2^8 \cdot (2^8 -1)}{2} \]
Agora, vamos somar os resultados obtidos nos dois casos
\[3 \cdot 2^{16} + 3 \cdot \dfrac{2^8 \cdot (2^8 – 1)}{2} = 294528 \]
Gabarito
Alternativa NÃO EXISTE
Observação sobre o gabarito oficial:
O erro da banca foi trabalhar o Caso II sem considerar que a ordem em que escolhemos os dois tons não importa, tratou como arranjo algo que era combinação e, a princípio, trouxe alternativa (C) \(2^8 \cdot (2^8 – 1) \cdot 3 + 2^{16} \cdot 3 = 392 448 \) como resposta de gabarito.