Geraldo depositou R$ 1.000,00 em uma conta de investimento que rende p% por ano. Não tendo feito mais nenhum depósito nessa conta, após 30 anos, o saldo era de R$ 120.000,00. Usando \(\log_{10} 2 = 0,301, \log_{10} 3 = 0,477\) e \(10^{0,0231} = K\), o valor de p é
(A) \(100(K^3-1)\)
(B) \(100 (1 – \dfrac{1}{K^2})\)
(C) \(100( K^2 – 1)\)
(D) \(100(1 – \dfrac{1}{K})\)
(E) \(100(K-1)\)
Propriedades Operatórias
Logaritmos:
\(\log_a b^n = n \log_a b\)
\(\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\)
\(\log_a a = 1\)
Potenciação:
\(\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}\)
RESOLUÇÃO
A fórmula do Valor Futuro a Juros Compostos é:
\(FV = PV (1+i)^n\)
Onde:
- FV = Valor Futuro
- PV = Valor Presente
- i = taxa de juros
- n = número de períodos (tempo)
A questão nos dá:
- FV = 120000
- PV = 1000
- i = p% ao ano
- n = 30 anos
Usando esses dados, temos a seguinte equação:
\(1000 \left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120000\)
\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \dfrac{120000}{1000}\)
\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120\)
Aplicando \(\log_{10}\) em ambos lados:
\(\log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \log_{10}120 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}120 \)
Fazendo \(120 = 2^2 \cdot 3 \cdot 10\)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}(2^2 \cdot 3 \cdot 10) \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}2^2 + \log_{10} 3 + \log_{10}10 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot \log_{10} 2 + 0,477 + 1 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot 0,301 + 1,477 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =0,602 + 1,477 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2,079 \)
\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \dfrac{2,079}{30} \)
\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = 0,0693 \)
Aplicando a definição de logaritmo:
\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0693} \)
O passo-chave para usarmos \(10^{0,0231} =K\) é reescrever \(0,0693 = 0,0231 \cdot 3\). Assim:
\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0231 \cdot 3} \)
\( 1 + \dfrac{p}{100} =\left( 10^{0,0231}\right)^3 \)
\( 1 + \dfrac{p}{100} = K^3 \)
\( \dfrac{p}{100} = K^3 -1 \)
\(\boxed{p = 100 (k^3 – 1)}\)
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