No plano, as retas r e s são perpendiculares e se cruzam no ponto P, que pertence à circunferência δ. A reta r passa pelo centro O de δ e contém o ponto R de δ. A reta s forma um ângulo de medida θ com o segmento , em que Q é um ponto de δ, como na figura.
Sabendo que cos θ \(= \dfrac{5}{8}\) e que o raio de δ mede 12 cm, a distância entre os pontos R e Q é de
(A) 15 cm
(B) \(\dfrac{50}{3}\) cm
(C) \(\dfrac{95}{6}\) cm
(D) 16cm
(E) 18 cm
O triângulo \(\Delta RQP\) inscrito na circunferência δ é retângulo, pois um de seus lados, \(\overline{RP}\), é o diâmetro de δ.
Conforme a figura
- \(\angle Q = 90^\circ\)
- \(\angle P = 90^\circ – \theta \)
- \(\angle R = \theta\)
No \(\Delta RQP\) a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é o diâmetro \(\overline{RP}\), com medida:
\(RP = 2 \cdot 12 = 24\)
O cateto adjacente a \(\angle R\) é o lado \(\overline{RQ}\)
Usando a relação
\(\cos \theta = \dfrac{\text{Cateto Adjacente}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{RQ}{24} \)
Pelo enunciado, \(\cos \theta = \dfrac{5}{8}\). Logo:
\(\dfrac{RQ}{24} = \dfrac{5}{8}\)
\(RQ = \dfrac{24 \cdot 5}{8}\)
\(RQ = 3 \cdot 5\)
\(RQ = \boxed{15}\)
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