Uma papelaria colocou em promoção cadernos universitários e cadernos brochura, no total de 56 unidades, sendo que a razão entre o número de cadernos universitários para o número de cadernos brochura era \(\dfrac{3}{5}\). Ao término do primeiro dia da promoção, havia sido vendido determinado número de cadernos universitários e 11 cadernos brochura, de modo que a razão entre o número de cadernos universitários para o número de cadernos brochura passou a ser \( \dfrac{2}{3} \). Nessas condições, número de cadernos universitários vendidos no primeiro dia da promoção foi
(A) 6.
(B) 3.
(C) 7.
(D) 4.
(E) 5.
Resolução
Inicialmente vamos definir a quantidade inicial de cadernos universitários como \(u\) e a de brochuras como \(b\).
Pelo enunciado, temos: \( \begin{cases} u + b = 56 \\ \dfrac{u}{b} = \dfrac{3}{5} \end{cases} \)
Agora, com esse sistema, vamos determinar as quantidades \(u\) e \(b\).
Por uma questão didática, vou mostrar dois métodos distintos.
Método I
O primeiro método consiste em criar uma nova proporção a partir da proporção dada.
\[ \dfrac{u}{b} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{u + b}{b} = \dfrac{3 + 5}{5} \]
Como sabemos que \( u +b = 56\)
\[ \dfrac{u + b}{b} = \dfrac{3 + 5}{5} \Rightarrow \dfrac{56}{b} = \dfrac{8}{5} \]
\[8b = 56 \cdot 5\]
\[b = \dfrac{280}{8} \]
\[ b = \fbox{35} \]
Consequentemente
\[u+35 = 56 \]
\[ u = 56 – 35\]
\[u = \fbox{21}\]
Método II
O segundo método consiste em achar um fator e multiplicar os pesos da proporção por esse fator.
Por \( u + b = 56 \), temos o todo = 56.
Por \( \dfrac{u}{b} = \dfrac{3}{5} \), temos que o peso de \(u’=3\) e o peso de \(b’ = 5\)
Obtemos o nosso fator dividindo o todo pela soma dos pesos
Fator =\(\dfrac{56}{3+5} = \dfrac{56}{8} = \fbox{7}\)
Agora, basta multiplicar cada peso pelo fator e obter as quantidades desejadas.
\[ \begin{cases} u = 3\cdot 7 = \fbox{21} \\ b = 5 \cdot 7 = \fbox{35} \end{cases}\]
Sabendo as quantidades iniciais de cadernos universitários e brochuras, vamos descobrir o número \(n\) de cadernos universitários vendidos no primeiro dia de promoção.
Vamos modelar esse trecho do enunciado: “Ao término do primeiro dia da promoção, havia sido vendido determinado número de cadernos universitários e 11 cadernos brochura, de modo que a razão entre o número de cadernos universitários para o número de cadernos brochura passou a ser \( \dfrac{2}{3} \)”
\[\dfrac{u-n}{b-11}= \dfrac{2}{3}\]
\[\dfrac{21-n}{35-11}= \dfrac{2}{3}\]
\[\dfrac{21-n}{24}= \dfrac{2}{3}\]
\[ 24\cdot 2 = 3\cdot(21-n) \]
\[48 = 63-3n \]
\[3n = 63-48\]
\[3n = 15 \]
\[ n = \dfrac{15}{3}\]
\[ n=\fbox{5} \]
Gabarito
Alternativa (E) 5.