Durante um experimento de modelagem biomecânica, uma equipe estuda o movimento de uma agulha inserida em um tecido biológico, formando um triângulo com três pontos de referência: o ponto de inserção (A), a extremidade da agulha (B) e um marcador no tecido (C).
Os lados AB, AC e BC desse triângulo são tais que:
- as medidas de AB, AC e BC, nessa ordem, são números inteiros ímpares consecutivos;
- o ângulo BÂC mede 120°.
O perímetro desse triângulo, em centímetros, é
(A) 23.
(B) 21.
(C) 19.
(D) 17.
(E) 15.
Nessa questão, vamos dar uma resolução clássica e em seguida fazer algumas análises baseadas nas informações do problema e as alternativas oferecidas no gabarito, o foco desse site é não só trazer resoluções, mas sim ensinar Matemática e compartilhar as minhas estratégias de resolução.
Resolução Direta
A diferença entre dois ímpares consecutivos é igual a 2, dessa forma, vamos adotar as seguintes medidas para os lados do triângulo ABC:
- AB = n
- AC = n+2
- BC = n+4
Agora, vamos aplicar a lei dos cossenos para obter o valor de n.
\((n+4)^2 = n^2 + (n+2)^2 -2 \cdot n \cdot (n+2) \cdot \cos 120^{\circ}\)
Desenvolvendo os quadrados e lembrando que \(\cos 120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\)
\(n^2 + 8n + 16 = n^2 + n^2 + 4n + 4 – 2 \cdot (n^2 + 2 n) \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right)\)
\(n^2 + 8n + 16 = 2 n^2 + 4n + 4 + n^2 + 2 n\)
\(n^2 + 8n + 16 = 3 n^2 + 6n + 4 \)
\(0 = 3 n^2 + 6n + 4 – n^2 -8n -16 \)
\(2 n^2 -2n -12 = 0 \)
Dividindo a equação por 2:
\(n^2 – n – 6 = 0\)
Para resolver essa equação do segundo grau, vamos utilizar o método da Soma e Produto.
Temos: \(\begin{cases} S = 1 \\ P = -6 \end{cases}\)
Lembrando que n é um número ímpar e inteiro, vamos testar os divisores ímpares de 6.
\(\textbf{P: } 1 \cdot (-6) = – 6 \to \textbf{S: }1 + (-6) = – 5\) ❌
\(\textbf{P: } 3 \cdot (-2) = – 6 \to \textbf{S: }3 + (-2) = 1\) ✅
Sabemos que n = 3, com essa informação, podemos obter o perímetro:
- AB = n = 3
- AC = n + 2 = 3 + 2 = 5
- BC = n + 4 = 3 + 4 = 7
O perímetro do triângulo ABC será
2p = 3 + 5 + 7 = 15 cm.
Alternativa (E) 15.
Resolução por Alternativas
Uma outra abordagem para essa questão seria a seguinte.
Observando o triângulo o perímetro será dado por:
2p = n + n + 2 + n + 4 = 3n + 6 = 3 (n + 2)
A informação que obtemos observando o perímetro obtido é que ele é um múltiplo de 3, com isso, vamos observar as alternativas.
(A) 23.
(B) 21.
(C) 19.
(D) 17.
(E) 15.
Apenas duas delas, (B) e (E) são múltiplas de 3.
Vamos testar essas duas alternativas:
Testando a alternativa (B) 21.
\(3(n+2) = 21\)
\(n+2 = \dfrac{21}{3}\)
\(n = 7 -2 \to n = \fbox{5}\)
Isso nos dá:
- AB = n = 5
- AC = n + 2 = 5 + 2 = 7
- BC = n + 4 = 5 + 4 = 9
Aplicando a lei dos cossenos, teremos:
\(9^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120^{\circ}\)
\(81 = 25 + 49 – 2 \cdot 35 \cdot \left( – \dfrac{1}{2} \right) \)
\(81 = 74 + 35 \)
\(81 = 109\) ❌ Falsidade.
Agora, por eliminação, uma pessoa muito confiante marcaria a alternativa (E) e seguiria em frente, mas como temos um compromisso didático vamos desenvolver os cálculos para essa alternativa.
Testando a alternativa (E) 15.
\(3(n+2) = 15\)
\(n+2 = \dfrac{15}{3}\)
\(n = 5 -2 \to n = \fbox{3}\)
Isso nos dá:
- AB = n = 3
- AC = n + 2 = 3 + 2 = 5
- BC = n + 4 = 3 + 4 = 7
Aplicando a lei dos cossenos, teremos:
\(7^2 = 3^2 + 5^2 – 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^{\circ}\)
\(49 = 9 + 25 – 2 \cdot 15 \cdot \left( – \dfrac{1}{2} \right) \)
\(49 = 34 + 15 \)
\(49 = 49\) ✅ Verdade
O que confirma a alternativa (E) 15. como resposta de gabarito.
Uma última observação nessa questão, utilizando o fato da multiplicidade por 3 obtidos na análise anterior, temos 2 casos para os lados do triângulo.
O triângulo ABC tem um ângulo de 120°, isso significa que ele é um triângulo obtusângulo e se testarmos as alternativas, veja o que acontece:
Na alternativa (B) 21.
Lados 5, 7 e 9
\(9^2 \quad ? \quad 5^2 + 7^2\)
\(81 \quad ? \quad 25 + 49\)
\(81 < 74 \to \) Triângulo Acutângulo
Na alternativa (E) 15.
Lados 3, 5 e 7
\(7^2 \quad ? \quad 3^2 + 5^2\)
\(49 \quad ? \quad 9 + 25\)
\(49 > 34 \to \) Triângulo Obtusângulo
O que, mais uma vez confirma alternativa (E) 15.
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