Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Lei dos Cossenos | Questão 77 Resolvida

Durante um experimento de modelagem biomecânica, uma equipe estuda o movimento de uma agulha inserida em um tecido biológico, formando um triângulo com três pontos de referência: o ponto de inserção (A), a extremidade da agulha (B) e um marcador no tecido (C).
Os lados AB, AC e BC desse triângulo são tais que:

as medidas de AB, AC e BC, nessa ordem, são números inteiros ímpares consecutivos;
o ângulo BÂC mede 120°.

O perímetro desse triângulo, em centímetros, é

(A) 23.
(B) 21.
(C) 19.
(D) 17.
(E) 15.

Nessa questão, vamos dar uma resolução clássica e em seguida fazer algumas análises baseadas nas informações do problema e as alternativas oferecidas no gabarito, o foco desse site é não só trazer resoluções, mas sim ensinar Matemática e compartilhar as minhas estratégias de resolução.

Resolução Direta:

A diferença entre dois ímpares consecutivos é igual a 2, dessa forma, vamos adotar as seguintes medidas para os lados do triângulo ABC:

AB = n
AC = n+2
BC = n+4

Diagrama de um triângulo obtusângulo ABC com um ângulo de 120 graus no vértice A. Os lados AB, AC e BC são representados, respectivamente, pelas expressões algébricas n, n mais 2 e n mais 4.

Agora, vamos aplicar a lei dos cossenos para obter o valor de n.

$(n+4)^2 = n^2 + (n+2)^2 -2 \cdot n \cdot (n+2) \cdot \cos 120^{\circ}$

Desenvolvendo os quadrados e lembrando que $\cos 120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}$

$n^2 + 8n + 16 = n^2 + n^2 + 4n + 4 - 2 \cdot (n^2 + 2 n) \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right)$

$n^2 + 8n + 16 = 2 n^2 + 4n + 4 + n^2 + 2 n$

$n^2 + 8n + 16 = 3 n^2 + 6n + 4$

$0 = 3 n^2 + 6n + 4 - n^2 -8n -16$

$2 n^2 -2n -12 = 0$

Dividindo a equação por 2:

$n^2 - n - 6 = 0$

Para resolver essa equação do segundo grau, vamos utilizar o método da Soma e Produto.

Temos: $\begin{cases} S = 1 \\ P = -6 \end{cases}$

Lembrando que n é um número ímpar e inteiro, vamos testar os divisores ímpares de 6.

$\textbf{P: } 1 \cdot (-6) = - 6 \to \textbf{S: }1 + (-6) = - 5$ ❌

$\textbf{P: } 3 \cdot (-2) = - 6 \to \textbf{S: }3 + (-2) = 1$ ✅

Sabemos que n = 3, com essa informação, podemos obter o perímetro:

AB = n = 3
AC = n + 2 = 3 + 2 = 5
BC = n + 4 = 3 + 4 = 7

O perímetro do triângulo ABC será

2p = 3 + 5 + 7 = 15 cm.

Alternativa (E) 15.

Resoluções por Alternativas

Uma outra abordagem para essa questão seria a seguinte.

Observando o triângulo o perímetro será dado por:

2p = n + n + 2 + n + 4 = 3n + 6 = 3 (n + 2)

A informação que obtemos observando o perímetro obtido é que ele é um múltiplo de 3, com isso, vamos observar as alternativas.

(A) 23.
(B) 21.
(C) 19.
(D) 17.
(E) 15.

Apenas duas delas, (B) e (E) são múltiplas de 3.

Vamos testar essas duas alternativas:

Testando a alternativa (B) 21.

$3(n+2) = 21$

$n+2 = \dfrac{21}{3}$

$n = 7 -2 \to n = \fbox{5}$

Isso nos dá:

AB = n = 5
AC = n + 2 = 5 + 2 = 7
BC = n + 4 = 5 + 4 = 9

Aplicando a lei dos cossenos, teremos:

$9^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120^{\circ}$

$81 = 25 + 49 - 2 \cdot 35 \cdot \left( - \dfrac{1}{2} \right)$

$81 = 74 + 35$

$81 = 109$ ❌ Falsidade.

Agora, por eliminação, uma pessoa muito confiante marcaria a alternativa (E) e seguiria em frente, mas como temos um compromisso didático vamos desenvolver os cálculos para essa alternativa.

Testando a alternativa (E) 15.

$3(n+2) = 15$