As esferas produzidas por uma metalúrgica são retiradas de um forno e colocadas para esfriar em um tanque cilíndrico de 120 cm de diâmetro. Quando uma esfera é colocada no tanque, o nível da água aumenta em 10 cm. Ao ser retirada do tanque, sem que sua dimensão e forma tenham sido alteradas, a esfera é embalada em uma caixa cúbica, de modo que a superfície esférica encoste, sem folgas, nas paredes da caixa. A medida, em centímetros, da aresta interna dessa caixa é
A) \(30\)
B) \(60\)
C) \(30 \sqrt[3]{9}\)
D) \(60 \sqrt[3]{9}\)
Resolução
Quando a esfera é colocada no tanque cilíndrico de 120 cm de diâmetro o nível da água aumenta em 10 cm significa que o volume da esfera é igual ao volume de um cilindro com diâmetro de 120 cm e altura 10 cm.
Sendo assim, o nosso primeiro passo é obter o volume desse cilindro.
Lembrando que o raio do cilindro é a metade de seu diâmetro, vamos aplicar a fórmula do volume do cilindro \(V = \pi r^2 \cdot h\).
Temos \(\begin{cases} r = \dfrac{120}{2}=60 \\ h =10 \end{cases}\)
\[ V = \pi \cdot 60^2 \cdot 10\]
\[ V = \pi \cdot 3600 \cdot 10\]
\[ V = 36000 \pi \]
Como o volume da esfera é igual ao volume do cilindro, vamos aplicar a fórmula do volume da esfera \(V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \) para obter a medida de seu raio.
\[ \dfrac{4}{3} \pi r^3 = 36000 \pi \]
Cancelando \(\pi\) em ambos os lados:
\[ \dfrac{4}{3} r^3 = 36000 \]
Multiplicando ambos os lados por \(\frac{3}{4}\):
\[r^3 = \dfrac{3 \cdot 36000}{4}\]
Como \(36000 \div 4 = 9000\):
\[r^3 = 3 \cdot 9000\]
\[r^3 = 27 000\]
Extraindo a raiz cúbica em ambos os lados:
\[r= \sqrt[3]{27000}\]
\[r = \fbox{30}\]
Esse momento é perigoso, acabamos de obter o raio de 30 cm e a alternativa (A) é justamente igual a 30, este é um exemplo de distrator, ou seja, uma alternativa de indução ao erro.
Queremos colocar essa esfera em uma caixa cúbica, de modo que a superfície esférica encoste, sem folgas, nas paredes da caixa, isso acontece se as arestas desse cubo tiverem suas medidas iguais ao diâmetro da esfera, ou seja, precisamos multiplicar o raio da esfera por 2.
\[ a = 2 \cdot 30\]
\[ a = \fbox{60} \text{ cm}\]
Alternativa B) \(60\)
💡 Dica do Professor LG
Para obter \( \sqrt[3]{27000}\) podemos fatorar o radicando da seguinte forma \(27000 = 27 \cdot 1000 = 3^3 \cdot 10^3\).
Daí, \( \sqrt[3]{27000} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 10^3} = 3 \cdot 10 = 30\).
Assim como se estuda tabuada, eu recomendo estudar quadrados e cubos perfeitos, pelo menos os quadrados e cubos de 1 até 10, esse conhecimento pode ser valioso em um dia de prova.
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