Um site de questões recebeu 9 exercícios diferentes para serem distribuídos entre seus inscritos. O site enviará 3 exercícios para cada inscrito de maneira que dois inscritos quaisquer não recebam os mesmos 3 exercícios. Nessas condições, o número máximo de inscritos que esse site pode ter de maneira que todos recebam 3 desses exercícios é
(A) 144.
(B) 121.
(C) 156.
(D) 84.
(E) 81.
Resolução
Esse tipo de exercício, em que queremos saber a quantidade de diferentes possibilidades, é classificado como um exercício de contagem e usamos as técnicas da análise combinatória para sua resolução.
A primeira pergunta que devemos fazer é se no caso do enunciado a ordem importa.
Vamos supor que os exercícios sejam numerados de 1 até 9 e um estudante recebe, por exemplo, os exercícios 1, 3 e 8.
Existe alguma diferença de esse estudante tivesse recebido os exercícios 3, 8 e 1?
A resposta é não, sendo assim, conseguimos verificar que a ordem não importa e, portanto, temos uma questão de combinação.
Queremos escolher 3 exercícios de um conjunto de 9.
$$ C_{9,3} = \dfrac{9!}{3!\cdot (9-3)!}$$
$$ C_{9,3} = \dfrac{9!}{3! \cdot 6!}$$
$$ C_{9,3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6!}$$
Simplificando 6! com 6!, temos
$$ C_{9,3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$
Lembrando que \( \dfrac{9}{3} = 3\) e \( \dfrac{8}{2 \cdot 1} = 4 \), temos
$$ C_{9,3} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = \fbox{84} $$
Portanto esse site pode ter, no máximo, 84 inscritos.
Alternativa: (D) 84.
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