Em um mesmo dia, José precisa ir a 5 estabelecimentos diferentes, entre eles a padaria e o banco. Sabe-se que José sempre vai à padaria em último lugar, que nunca vai ao banco em primeiro lugar e que não há preferência de ordem em relação aos demais estabelecimentos. Nessas condições, o número de maneiras distintas que José tem para escolher a ordem em que irá a esses 5 estabelecimentos é
(A) 24.
(B) 18.
(C) 12.
(D) 15.
(E) 20.
Resolução
Como José irá a 5 estabelecimentos diferentes, vamos usar o princípio fundamental da contagem onde a quantidade de maneiras distintas será o produto das quantidades de escolhas individuais que ele pode fazer do primeiro até o quinto estabelecimento.
\[ [E_1]\times [E_2] \times [E_3] \times [E_4] \times [E_5] \]
Como o último estabelecimento é a padaria só há uma opção para \(E_5\).
\[ [E_1]\times [E_2] \times [E_3] \times [E_4] \times [1] \]
Ainda temos o banco e mais outros três estabelecimentos, porém, pelo enunciado, o primeiro estabelecimento que José vai nunca é o banco, dessa forma temos apenas três escolhas para \(E_1\)
\[ [3]\times [E_2] \times [E_3] \times [E_4] \times [1] \]
Resolvida essa restrição do banco, para a próxima escolha podem ser o banco ou algum dos outros dois estabelecimentos ainda não escolhidos, ou seja, três escolhas.
\[ [3]\times [3] \times [E_3] \times [E_4] \times [1] \]
Na sequência, duas e uma escolha para \(E_3\) e \(E_4\) respectivamente.
\[ [3]\times [3] \times [2] \times [1] \times [1] = \fbox{18} \]
Gabarito
Alternativa: (B) 18.
💡 Dica do Professor LG
Em problemas envolvendo análise combinatória priorizamos as restrições para evitar contagens duplas, no exercício começamos por \( [E_5]\) como escolha única da padaria e depois fomos para \([E_1]\) onde não poderia ser o escolhido o banco, note que são duas informações diferentes a primeira exige uma escolha determinada e a segunda elimina uma possibilidade de escolha.