Considere os triângulos retângulos \(ABC\) e \(FBD\), ambos retos em \(B\), com os lados \( \overline{AC}\) e \( \overline{DF}\) de mesma medida e o ângulo \(B\hat{A}C =\alpha \). Os pontos \(A, B\) e \(F\) estão alinhados e o ponto \(D\) pertence ao prolongamento do lado \( \overline{BC}\). O lado \( \overline{CE} \) do quadrado \(BCEF\) intersecta a hipotenusa do triângulo \(FBD\), formando o ângulo
\(E\hat{F}D = \beta\), conforme mostra a figura.
Sabendo que a área do quadrado \(BCEF\) é 81 cm², e que \( \operatorname{sen} \alpha = \dfrac{3}{5}\), o valor de \(\operatorname{tg} \beta\) é:
(A) \( \dfrac{4}{5} \)
(B) \( \dfrac{5}{4} \)
(C) \( \dfrac{3}{4} \)
(D) \( \dfrac{4}{3} \)
(E) \( \dfrac{3}{2} \)
Revisão
Nesta questão vamos usar duas razões trigonométrica no triângulo retângulo:
Seno é a razão entre o Cateto Oposto e a Hipotenusa.
Tangente é a razão entre o Cateto Oposto e o Cateto Adjacente.
Resolução
Inicialmente vamos obter a medida do lado \( \ell\) do quadrado \(BCEF\) dado que sua área éde 81 cm².
\[ \ell^2 = 81 \]
\[ \ell = \sqrt{81} \]
\[ \ell = \fbox{9} \]
Pelo triângulo \(ABC\), temos \(\operatorname{sen} \alpha = \dfrac{BC}{AC}\) e, como acabamos de obter \(BC = 9\), usando \( \operatorname{sen} \alpha = \dfrac{3}{5}\), temos:
\[ \dfrac{9}{AC} = \dfrac{3}{5} \]
Multiplicando em cruz:
\[3 AC = 5 \cdot 9 \]
\[AC = \dfrac{45}{3}\]
\[AC = \fbox{15} \]
Pelo enunciado, \(AC = DF = 15\)
Os ângulos \(E\hat{F}D\) e \(B\hat{D}F \) são alternos internos, logo congruentes.
Com isso, para obtermos \( \operatorname{tg} \beta \) devemos obter a razão \( \dfrac{BF}{BD} \).
Utilizando o Teorema de Pitágoras
\[ (BD)^2 +9^2 = 15^2 \]
\[ (BD)^2 + 81 = 225 \]
\[ (BD)^2 = 225-81 \]
\[ (BD)^2 = 144 \]
\[ BD = \sqrt{144} \]
\[ BD = \fbox{12} \]
Agora podemos obter a tangente de \( \beta \).
\[ \operatorname{tg} \beta = \dfrac{BF}{BD} \]
\[ \operatorname{tg} \beta = \dfrac{9}{12} \]
\[ \operatorname{tg} \beta = \dfrac{3}{4} \]
Gabarito
Alternativa (C) \( \dfrac{3}{4} \)