A figura mostra os triângulos \(MEP\) e \(REP\), que compartilham o lado \( \overline{EP} \).
A área do triângulo \(MER\), em cm², é igual a
(A) \( 6 ( \sqrt{3} + 3 ) \)
(B) \( 12 ( \sqrt{3} + 3 ) \)
(C) \( 24 ( \sqrt{3} + 3 ) \)
(D) \( 48 ( \sqrt{3} + 3 ) \)
(E) \( 3 ( \sqrt{3} + 3 ) \)
Resolução
Observando a figura podemos notar que triângulo retângulo \(EPR\) possui um ângulo de 45°.
A consequência disso é que o ângulo \( E\hat{R}P \) também terá essa medida de 45° e consequentemente o triângulo \( EPR \) é isósceles.
Logo, \(EP = PR = 12\).
No triângulo \( EMP \), em relação ao ângulo \(MÊP\), temos \( \overline{MP} \) como cateto oposto e \( \overline{EP} \) como cateto adjacente.
Lembrando que quem relaciona cateto oposto com cateto adjacente é a tangente e que \( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\), teremos:
\[ \dfrac{MP}{12} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \]
\[ MP = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} \]
\[MP = 4 \sqrt{3} \]
Tomando \(MR = 4 \sqrt{3} +12 \) como base e \(EP = 12\) como altura do triângulo \(MER\), podemos calcular sua área:
\[ A_{MER} = \dfrac{(4 \sqrt{3} +12 ) \cdot 12}{2} \]
\[ A_{MER} = (4 \sqrt{3} +12) \cdot 6 \]
Agora é o momento onde analisamos as alternativas e notamos que todas elas tem um número inteiro multiplicado por \( \sqrt{3} + 3 \).
Se olharmos dentro do parênteses \( (4 \sqrt{3} +12) \), percebemos que podemos colocar 4 em evidência.
\[ A_{MER} = 4 (\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \]
\[ A_{MER} = 24 (\sqrt{3} +3 ) \]
Gabarito
Alternativa: (C) \( 24 ( \sqrt{3} + 3 ) \)