Observe o produto de infinitas frações que seguem determinado padrão:
\[ \dfrac{16}{2} \cdot \dfrac{16}{4} \cdot \dfrac{16}{8} \cdot \dfrac{16}{16} \cdot \ldots \cdot \dfrac{16}{2^n} \cdot \ldots \]
O produto das 16 primeiras frações desse padrão é igual a:
(A) \( 2^{64} \)
(B) \( 2^{-64} \)
(C) \( 2^{-32} \)
(D) \( 2^{-72} \)
(E) \( 2^{72} \)
RESOLUÇÃO
Vamos resolver essa questão tratando os numeradores e os denominadores separadamente.
No numerador, teremos \[\underbrace{16 \cdot 16 \cdot \ldots \cdot 16}_{16 \text{ fatores }} = 16^{16} \]
Como \(16 = 2^4 \), o numerador será:
\[ 16^{16} = (2^4)^{16} = 2^{64} \]
No denominador, teremos
\[ 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{16} = 2^{1+2+3+ \cdots + 16} \]
Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A.: \( \quad S_n = \dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2} \)
\[ 1+2+3 + \cdots + 16 = \dfrac{(1+16)\cdot 16}{2} \]
\[ 1+2+3 + \cdots + 16 = 17\cdot 8 \]
\[ 1+2+3 + \cdots + 16 = \fbox{136} \]
Portanto:
\[ 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{16} = 2^{136} \]
Agora, vamos obter o produto das 16 primeiras frações do padrão pela razão:
\[ \dfrac{2^{64}}{2^{136} }= 2^{64-136} = 2^{-72} \]
Gabarito
Alternativa (D) \( 2^{-72} \)
Uma outra maneira seria já transformarmos as frações em potências de 2:
\[ \dfrac{16}{2} \cdot \dfrac{16}{4} \cdot \dfrac{16}{8} \cdot \dfrac{16}{16} \cdot \ldots \cdot \dfrac{16}{2^n} \cdot \ldots = \]
\[ \dfrac{2^4}{2} \cdot \dfrac{2^4}{2^2} \cdot \dfrac{2^4}{2^3} \cdot \dfrac{2^4}{2^4} \cdot \ldots \cdot \dfrac{2^4}{2^n} \cdot \ldots \]
\[ 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^1 \cdot 2^0 \cdot \ldots \cdot 2^{4-n} \cdot \ldots \]
Como queremos o produto dos 16 primeiros termos desse padrão, teremos:
\[ 2^3 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot 2^{4-16} =\]
\[ 2^3 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot 2^{-12} =\]
\[ 2^{3 + 2 + 1 + 0 + \cdots + (-12) } \]
Novamente usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A.:
\[ 3 + 2 + 1 + 0 + \cdots + (-12) = \dfrac{(3+(-12))\cdot 16}{2}\]
\[ 3 + 2 + 1 + 0 + \cdots + (-12) = \dfrac{(3-12)\cdot 16}{2}\]
\[ 3 + 2 + 1 + 0 + \cdots + (-12) = -9\cdot 8\]
\[ 3 + 2 + 1 + 0 + \cdots + (-12) = -72 \]
Logo:
\[ 2^{3 + 2 + 1 + 0 + \cdots + (-12) } = 2^{-72}\]
Gabarito
Alternativa (D) \( 2^{-72} \)
💡 Dica do Professor LG
Ao lermos uma questão devemos sempre olhar as alternativas, no caso desta questão, todas elas eram potências de base 2, por esse fato a segunda forma de resolução, transformando cada um dos fatores da sequência em potências de base 2 é a mais indicada para direcionar a resolução às alternativas do gabarito. Lembre-se da seguinte dica, só comece a resolver a questão após a leitura completa do enunciado e de suas alternativas.