Sabe-se que uma circunferência C está no 1º quadrante de um plano cartesiano tangenciando simultaneamente o eixo das abscissas, o eixo das ordenadas e a circunferência de equação
\((x-21)^2+(y-4)^2 = 16\)
A quantidade de possíveis valores para o raio da circunferência C é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Resolução
Para melhor diferenciar, vamos chamar o centro da circunferência C de Ca e o centro da circunferência cuja equação foi dada de Cb.
A circunferência C, por tangenciar eixos x e y e, também estar no primeiro quadrante, deve ter centro \(C_a(a,a)\) e raio \(r_a=a\). Isso nos dá:
\(C: (x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2\)
Precisamos descobrir a quantidade de valores possíveis para a.
A circunferência de equação \((x-21)^2+(y-4)^2 = 16\), tem centro \(C_b(21,4)\) e raio \(r_b= \sqrt{16} \Rightarrow r_b = 4\)
Existem duas situações de tangência a a considerar:
- Circunferências tangentes exteriormente
- Circunferência tangentes interiormente
Tangentes exteriormente
Neste caso, teremos que a distância entre os centros das circunferências é igual a soma dos raios.
\(d_{C_aC_b}=r_a+r_b\)
\(\sqrt{(a-21)^2+(a-4)^2} = a+4\)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
\((a-21)^2 + (a-4)^2 = (a+4)^2\)
\(a^2 -42a + 441 + a^2 -8a + 16 = a^2 + 8a + 16\)
\(a^2 -42a + 441 + a^2 -8a + 16 – a^2 – 8a – 16 = 0\)
\(a^2 -58a +441 = 0\)
Temos uma equação do segundo grau e, inicialmente vamos encontrar seu discriminante
\(\Delta = (-58)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 441\)
\(\Delta = 3364 – 1764\)
\(\Delta = 1600\)
Como \(\Delta > 0\), sabemos que temos duas raízes distintas, porém, precisamos garantir que essas raízes tenham valores positivos pela restrição do 1º quadrante.
Note que pelo método da soma e produto, temos:
Produto = +441 (Produto positivo, logo as raízes têm o mesmo sinal)
Soma = 58 (Soma positiva, logo as raízes são positivas)
O exercício não pediu para calcular quais os valores de a, e sim quantos são os raios possíveis, temos, por enquanto, duas possibilidades para o raio a.
Seria perda de tempo durante um vestibular querer encontrar as raízes da equação, por isso, apenas por curiosidade, vamos desenvolver o cálculo das raízes.
\(\dfrac{-(-58) \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \dfrac{58 \pm 40}{2}\)
\(a_1 = \dfrac{58+40}{2} =\dfrac{98}{2} = \fbox{49}\)
\(a_2 = \dfrac{58-40}{2} =\dfrac{18}{2} = \fbox{9}\)
Tangentes interiormente
Neste caso, teremos que a distância entre os centros das circunferências é igual a diferença entre os raios.
\(d_{C_aC_b}=|r_a – r_b|\)
\(\sqrt{(a-21)^2+(a-4)^2} = |a-4|\)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
\((a-21)^2 + (a-4)^2 = |a-4|^2\)
Como \( (a-4)^2 = |a-4|^2 \), podemos usar a lei do cancelamento:
\( (a-21)^2 = 0 \)
O que nos dá
\( a – 21 = 0 \)
\( a = \fbox{21} \)
Portanto, temos mais uma única possibilidade para a medida do raio a.
Podemos agora afirmar que há três valores possíveis para o raio da circunferência C.
O que nos dá como alternativa de gabarito: (D) 3.
Para melhor visualizar, veja a figura com as três circunferências tangentes:
