José deseja fazer uma poupança mensal durante 10 anos, sempre acrescentando 0,5% a mais em relação ao valor poupado no mês anterior. Adotando \(1,005^{120} = 1,819\) em seu cálculo final, se José começar sua poupança depositando R$ 100,00 no primeiro mês, ao final do último mês de depósito ele terá depositado um total de
(A) R$ 69.600,00.
(B) R$ 6.645,00.
(C) R$ 32.760,00.
(D) R$ 16.380,00.
(E) R$ 6.500,00.
Revisão
Soma dos \(n\) termos iniciais de uma P.G.
\[S_n = \dfrac{a_1\cdot q^n-a_1}{q-1} \qquad (q \neq 1) \]
Resolução
Para aplicarmos a fórmula da soma dos n termos iniciais da P.G., precisamos descobrir cada um dos elementos componentes através da leitura atenta do enunciado.
O primeiro depósito é de R$ 100,00, isso implica que \(a_1 = 100\) e, como cada depósito é acrescentado de 0,5% do valor do depósito anterior, temos a razão desta progressão geométrica \(q = 1,005\).
A previsão de José é de manter esses depósitos por 10 anos, ou seja, por 120 meses, informação que nos dá o valor de \(n = 120\).
Agora, que sabemos os valores a serem usados na fórmula, vamos aos cálculos.
\[ S_{120} = \dfrac{100 \cdot 1,005^{120} – 100}{1,005 – 1} \]
Adotando \(1,005^{120} = 1,819\)
\[ S_{120} = \dfrac{100 \cdot 1,819 – 100}{0,005} \]
\[ S_{120} = \dfrac{181,9 – 100}{0,005} \]
\[ S_{120} = \dfrac{81,9}{0,005} \]
Efetuando a divisão:
\[S_{120} = \fbox{16380}\]
Portanto, ao final do último mês, ele terá depositado um total de R$ 16.380,00.
Gabarito
Alternativa (D) R$ 16.380,00.
💡 Dica do Professor LG
No momento em que apareceu a divisão \( \dfrac{81,9}{0,005}\) ao invés de fazer a divisão com todos os passos, multiplique o numerador e o denominador por 2 e iguale a quantidade de casas decimais.
\[\dfrac{81,9 \cdot 2}{0,005 \cdot 2} = \dfrac{163,8}{0,010} = \dfrac{163,80}{0,01} = 16380\]