Para descrever a taxa de aparecimento de glicose na circulação sistêmica ao longo do tempo após uma refeição, são empregados modelos matemáticos robustos. Diferentemente de funções polinomiais ou exponenciais simples, que não capturam a fase de declínio, funções na forma
\(A(t) = M \cdot t^{\alpha} \cdot e^{\beta \cdot t}\),
com t ≥ 0 sendo o tempo contado a partir do início da absorção efetiva de glicose de uma refeição, e M, α, β e e constantes reais, são mais adequadas por combinar crescimento e decaimento exponencial.
Considere esse modelo para estimar a taxa de aparecimento de glicose, com t em minutos e A em mg/min, tal que
\(A(16) = 1000 \cdot e^{-0,32}\)
\(A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}\)
Sabendo que e é a constante de Euler, se α = 0,5, é correto afirmar que a taxa de aparecimento de glicose estimada, em mg/min, 100 minutos após o início da absorção efetiva é
(A) \(2500 \cdot e^{-0,18}\)
(B) \(2500 \cdot e^{-0,82}\)
(C) \(2500 \cdot e^{-1}\)
(D) \(2500 \cdot e^{-2}\)
(E) \(2500 \cdot e^{-2,5}\)
Resolução
Precisamos descobrir os valores das constantes M e β, uma vez que o valor de α = 0,5 já foi informado no enunciado.
Utilizando a fórmula: \(A(t) = M \cdot t^{\alpha} \cdot e^{\beta \cdot t}\), temos:
\(A(16) = M \cdot 16^{0,5} \cdot e^{\beta \cdot 16}\)
Lembre-se que \(16^{0,5} = \sqrt{16} = 4\)
Isso nos dará:
\(A(16) = 4 \cdot M \cdot e^{\beta \cdot 16}\)
Usando a informação do enunciado:
\(A(16) = 1000 \cdot e^{-0,32}\)
Podemos trabalhar com a igualdade:
\(4 \cdot M \cdot e^{\beta \cdot 16} = 1000 \cdot e^{-0,32}\)
Teremos, então:
\(4\cdot M = 1000\)
\(M = \dfrac{1000}{4} \Rightarrow M = \fbox{250}\)
E, também:
\(e^{\beta \cdot 16} = e^{-0,32}\)
\(16 \cdot \beta = -0,32\)
\(\beta = \dfrac{-0,32}{16} \Rightarrow \beta = -0,02\)
A função pode ser reescrita como:
\(A(t) = 250 \cdot t^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot t}\)
Agora, para finalizar a questão, iremos calcular A(100).
\(A(100) = 250 \cdot 100^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot 100}\)
Lembrando que \(100^{0,5} = \sqrt{100} = 10\), temos:
\(A(100) = 250 \cdot 10 \cdot e^{-2}\)
\(A(100) = 2500 \cdot e^{-2}\)
O que nos dá,como alternativa de gabarito: (D) \(2500 \cdot e^{-2}\)
Observação:
No momento que reescrevemos a função como:
\(A(t) = 250 \cdot t^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot t}\)
Poderíamos verificar que outra informação do enunciado \(A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}\) é consistente.
De fato,
\(A(25) = 250 \cdot 25^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot 25}\)
\(A(25) = 250 \cdot 5 \cdot e^{-0,50}\)
\(A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}\)
Porém, esse desenvolvimento não traz nenhuma informação nova para o objetivo final da questão e nos toma tempo, que é um artigo de luxo em provas de vestibulares.
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