Na figura a seguir vemos um triângulo isósceles no qual são marcados três pontos, A, B e C.
O lado do triângulo oposto a A mede α cm e os pontos B e C estão colocados sobre os dois lados congruentes do triângulo a uma distância de α cm do ponto A. O ângulo interno A mede 2θ. A razão entre as áreas do triângulo ABC e do triângulo desenhado é
A) 2 cos(θ)
B) 2 tg(θ)
C) 4
D) 4 sen²(θ)
Resolução
Começamos a resolução dessa questão fazendo algumas anotações na figura no triângulo dado no enunciado.
O triângulo desenhado agora chamado de \(\Delta_{ADF}\) tem uma base \( \alpha\) e o triângulo \(\Delta_{ABC}\) tem base \( \beta\), ambas opostas ao vértice \(A\), como os dois triângulos compartilham o vértice A e ambos são isósceles, podemos afirmar que \(BC // DF\) e que os triângulos são semelhantes: \(\Delta_{ADF} \sim \Delta_{ABC}\).
Queremos a razão entre as áreas \(\dfrac{A_{\Delta ABC}}{A_{\Delta ADF}} \).
Esse é um momento delicado da resolução, a opção de tentar desenvolver as áreas dos dois triângulos levaria a cálculos enfadonhos e tomaria muito tempo, há uma saída mais rápida que é utilizar razão de semelhança \(k\).
A razão de semelhança \(k\) é obtida pela razão entre elementos lineares da figura e a razão entre áreas é obtida elevando-se essa razão ao quadrado, ou seja, a razão entre áreas é dada por \(k^2\).
Vamos obter \(k\) pela razão de dois elementos lineares proporcionais \( \beta\) e \(\alpha\).
\[k = \dfrac{\beta}{\alpha} \]
Fazendo algumas novas modificações na figura, temos:
Essa altura traçada a partir do vértice \(A\) e perpendicular à \(BC\) permite aplicar razões trigonométricas no triângulo retângulo.
\[ \operatorname{sen} \theta = \dfrac{\dfrac{\beta}{2}}{\alpha}\]
\[ \operatorname{sen} \theta = \dfrac{\beta}{2 \cdot \alpha}\]
\[ \operatorname{sen} \theta = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha}\]
Lembrando da relação
\[k = \dfrac{\beta}{\alpha} \]
Teremos:
\[ \operatorname{sen} \theta = \dfrac{1}{2} \cdot k \]
\[ 2 \cdot \operatorname{sen} \theta = k \]
Como a razão entre as áreas é dada por \(k^2\), teremos:
\[k^2 = (2\cdot \operatorname{sen} \theta)^2\]
\[k^2 = 4\cdot \operatorname{sen}^2 \theta \]
Logo:
\[\dfrac{A_{\Delta ABC}}{A_{\Delta ADF}} = 4\cdot \operatorname{sen}^2 \theta \]
O que nos dá como resposta de gabarito
Alternativa D) 4 sen²(θ)
Um outro caminho seria utilizando a lei dos cossenos que nos levaria direto para \(k^2 = \dfrac{\beta^2}{\alpha^2} \)
\[\beta^2 = \alpha^2 + \alpha^2 – 2\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \cos( 2 \theta)\]
\[\beta^2 =2 \cdot \alpha^2 – 2\cdot \alpha^2 \cdot \cos( 2 \theta)\]
\[\beta^2 =\alpha^2 ( 2 – 2 \cdot \cos( 2 \theta))\]
\[\dfrac{\beta^2}{\alpha^2} = 2 – 2 \cdot (\cos^2 \theta – \operatorname{sen}^2 \theta )\]
\[\dfrac{\beta^2}{\alpha^2} = 2 – 2 \cdot (1 – \operatorname{sen}^2 \theta – \operatorname{sen}^2 \theta) \]
\[\dfrac{\beta^2}{\alpha^2} = 2 – 2 \cdot (1 – 2 \cdot \operatorname{sen}^2 \theta )\]
\[\dfrac{\beta^2}{\alpha^2} = 2 – 2 + 4 \cdot \operatorname{sen}^2 \theta \]
\[\dfrac{\beta^2}{\alpha^2} = 4 \cdot \operatorname{sen}^2 \theta\]
O que novamente confirma:
Alternativa D) 4 sen²(θ)
💡Dica do Professor LG
A razão de semelhança \(k\) é utilizada para elementos lineares. Essa razão elevada ao quadrado (\(k^2)\) nos dá a razão entre áreas e elevada ao cubo (\(k^3\)) a razão entre volumes, ou seja, é uma ferramenta que pode nos ajudar tanto na geometria plana como na geometria espacial.
📚 Quer aprofundar nesse tema ajudando esse projeto educativo ? Utilize o meu link Amazon e adquira a recomendação do Professor LG:
📙Fundamentos de Matemática Elementar — Volume 9, Geometria Plana
Estudar Geometria com o material certo é muito mais eficiente.
Um bom kit com régua, compasso, esquadros e transferidor ajuda muito na sua jornada e vira um material para toda a vida.
Ajude esse projeto Educativo utilizando o link da Amazon:
📐Kit Desenho Geométrico