FEMPAR, Vestibular

Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 | Questão 74 Resolvida

Para descrever a taxa de aparecimento de glicose na circulação sistêmica ao longo do tempo após uma refeição, são empregados modelos matemáticos robustos. Diferentemente de funções polinomiais ou exponenciais simples, que não capturam a fase de declínio, funções na forma

A(t) = M \cdot t^{\alpha} \cdot e^{\beta \cdot t},

com t ≥ 0 sendo o tempo contado a partir do início da absorção efetiva de glicose de uma refeição, e M, α, β e e constantes reais, são mais adequadas por combinar crescimento e decaimento exponencial.
Considere esse modelo para estimar a taxa de aparecimento de glicose, com t em minutos e A em mg/min, tal que

A(16) = 1000 \cdot e^{-0,32}
A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}

Sabendo que e é a constante de Euler, se α = 0,5, é correto afirmar que a taxa de aparecimento de glicose estimada, em mg/min, 100 minutos após o início da absorção efetiva é

(A) 2500 \cdot e^{-0,18}
(B) 2500 \cdot e^{-0,82}
(C) 2500 \cdot e^{-1}
(D) 2500 \cdot e^{-2}
(E) 2500 \cdot e^{-2,5}

Resolução

Precisamos descobrir os valores das constantes M e β, uma vez que o valor de α = 0,5 já foi informado no enunciado.

Utilizando a fórmula: A(t) = M \cdot t^{\alpha} \cdot e^{\beta \cdot t}, temos:

A(16) = M \cdot 16^{0,5} \cdot e^{\beta \cdot 16}

Lembre-se que 16^{0,5} = \sqrt{16} = 4

Isso nos dará:

A(16) = 4 \cdot M \cdot e^{\beta \cdot 16}

Usando a informação do enunciado:

A(16) = 1000 \cdot e^{-0,32}

Podemos trabalhar com a igualdade:

4 \cdot M \cdot e^{\beta \cdot 16} = 1000 \cdot e^{-0,32}

Teremos, então:

4\cdot M = 1000

M = \dfrac{1000}{4} \Rightarrow M = \fbox{250}

E, também:

e^{\beta \cdot 16} = e^{-0,32}

16 \cdot \beta = -0,32

\beta = \dfrac{-0,32}{16} \Rightarrow \beta = -0,02

A função pode ser reescrita como:

A(t) = 250 \cdot t^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot t}

Agora, para finalizar a questão, iremos calcular A(100).

A(100) = 250 \cdot 100^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot 100}

Lembrando que 100^{0,5} = \sqrt{100} = 10, temos:

A(100) = 250 \cdot 10 \cdot e^{-2}

A(100) = 2500 \cdot e^{-2}

O que nos dá,como alternativa de gabarito: (D) 2500 \cdot e^{-2}

Observação:

No momento que reescrevemos a função como:

A(t) = 250 \cdot t^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot t}

Poderíamos verificar que outra informação do enunciado A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50} é consistente.

De fato,

A(25) = 250 \cdot 25^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot 25}

A(25) = 250 \cdot 5 \cdot e^{-0,50}

A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}

Porém, esse desenvolvimento não traz nenhuma informação nova para o objetivo final da questão e nos toma tempo, que é um artigo de luxo em provas de vestibulares.

Deixe um comentário