No plano cartesiano, está representado um esboço do gráfico da função trigonométrica \( f(x) = 2 \textrm{sen }(x) – \cos^2(x) \), cujo período é igual a \( 2 \pi \).
O número de soluções da equação \( 2 \textrm{sen }(x) – \cos^2(x) = -\dfrac{x}{3} \) é
(A) 5.
(B) 4.
(C) 6.
(D) 3.
(E) 7.
Resolução
Conforme podemos observar no gráfico, a função \( f(x) = 2 \textrm{sen }(x) – \cos^2(x) \) é limitada ao intervalo:
\[ -2 \leq f(x) \leq 2 \]
Considere a função \(g(x) = – \dfrac{x}{3} \).
Vamos limitar g(x) entre no intervalo \( [-2,2] \).
\[ -2 \leq – \dfrac{x}{3} \leq 2 \]
\[ -6 \leq – x \leq 6 \Rightarrow -6 \leq x \leq 6\]
Calculando a função linear \(g(x)\) nesses dois extremos:
\( g(-6) = – \left(\dfrac{-6}{3}\right) = \dfrac{6}{3} = 2\)
\( g(6) = – \dfrac{6}{3} = -2\)
Como g(x) é uma função linear e as soluções da equação \( 2 \textrm{sen }(x) – \cos^2(x) = -\dfrac{x}{3} \), são os pontos de intersecção entre \(f(x) \text{ e } g(x) \), vamos sobrepor o gráfico de g(x) ao gráfico de f(x), lembrando que -6 estará próximo de \( – 2 \pi \) (um pouco à direita) e 6 estará próximo de \( 2 \pi \) (um pouco à esquerda).
Podemos notar no gráfico os 5 pontos destacados onde f(x) intersecta g(x), pontos estes que são as 5 soluções da equação \( 2 \textrm{sen }(x) – \cos^2(x) = -\dfrac{x}{3} \).
Alternativa (A) 5.
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