UNIFESP 2026 – Geometria Plana | Questão 20 Resolvida

Um quadrado ABCD foi dividido em dois retângulos, em um quadrado Q₁ e em um quadrado Q₂, tal que a diagonal AC do quadrado passe pelo vértice em comum de Q₁ e Q₂, conforme a figura.

Quadrado ABCD dividido em dois retângulos e dois quadrados Q1 e Q2, com a diagonal AC passando pelo vértice comum de Q1 e Q2. Questão de Geometria Plana UNIFESP 2026.

a) Se a área do quadrado Q₂ for o dobro da área do quadrado Q₁, qual será o valor de tg α?

b) Se a medida de α for igual a 60° e a área do quadrado Q₁ for 48 cm², qual será o perímetro do quadrado ABCD?

Resolução (a)

Vamos chamar de L₂ o lado do quadrado Q₂ e L₁ o lado do quadrado Q₁, conforme podemos observar na figura.

Diagrama geométrico mostrando os lados L1 e L2 dos quadrados Q1 e Q2, o ângulo α e a relação trigonométrica tg α = L2/L1 para a resolução da UNIFESP 2026.

Usando razão de semelhança, temos $\dfrac{L_2}{L_1} = K$

A razão entre as áreas dos quadrados é dada por $\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = K^2$

Usando que $AQ_2 = 2 \cdot AQ_1$ , temos:

$\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = \dfrac{2\cdot AQ_1}{AQ_1} = 2$

Logo, $K^2 = 2$ e, portanto $K = \sqrt{2}$

Voltando à figura, podemos notar que o ângulo α faz parte de um triângulo retângulo onde L₂ é o cateto oposto e L₁ o cateto adjacente a este ângulo α.

Isso nos dará a seguinte relação:

$\textrm{tg }\alpha = \dfrac{L_2}{L_1}$