Um quadrado ABCD foi dividido em dois retângulos, em um quadrado Q1 e em um quadrado Q2, tal que a diagonal AC do quadrado passe pelo vértice em comum de Q1 e Q2, conforme a figura.
a) Se a área do quadrado Q2 for o dobro da área do quadrado Q1, qual será o valor de tg α?
b) Se a medida de α for igual a 60° e a área do quadrado Q1 for 48 cm², qual será o perímetro do quadrado ABCD?
Resolução (a)
Vamos chamar de L2 o lado do quadrado Q2 e L1 o lado do quadrado Q1, conforme podemos observar na figura.
Usando razão de semelhança, temos \(\dfrac{L_2}{L_1} = K\)
A razão entre as áreas dos quadrados é dada por \(\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = K^2\)
Usando que \(AQ_2 = 2 \cdot AQ_1\), temos:
\(\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = \dfrac{2\cdot AQ_1}{AQ_1} = 2\)
Logo, \(K^2 = 2\) e, portanto \(K = \sqrt{2}\)
Voltando à figura, podemos notar que o ângulo α faz parte de um triângulo retângulo onde L2 é o cateto oposto e L1 o cateto adjacente a este ângulo α.
Isso nos dará a seguinte relação:
\(\textrm{tg }\alpha = \dfrac{L_2}{L_1}\)
\(\textrm{tg }\alpha = K\)
\(\textrm{tg }\alpha = \sqrt{2}\)
Resolução (b)
Vamos utilizar as mesmas notações do item (a).
Como o lado do quadrado ABCD é dado por L1+L2, teremos que seu perímetro é dado por 4(L1 + L2).
Vamos utilizar as seguintes relações:
\(AQ_1 = 48 \Rightarrow L_1 = \sqrt{48}\)
\(L_1 = 4 \cdot \sqrt{3}\)
\(\textrm{tg }\alpha = \dfrac{L_2}{L_1}\)
\(\textrm{tg }60^{\circ} = \sqrt{3} \to \textrm{tg }\alpha = \sqrt{3}\)
Temos então:
\(\dfrac{L_2}{4 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{3}\)
\(L_2 = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)
\(L_2 = 12\)
Sabendo as medidas de L1 e L2, podemos calcular o perímetro do quadrado ABCD:
\(2p = 4\cdot (4 \cdot \sqrt{3} + 12)\)
\(2p = 16\cdot \sqrt{3} + 48 \text{ cm}\).
Observação: Em geometria utilizamos as seguintes notações:
p = semiperímetro
2p = perímetro