A figura apresenta os gráficos das funções f e g definidas como \( f(x) = \log (x + m)\), com \( m \in \mathbb{R} \), e \(g(x) = – x – 4\).
O ponto P é o ponto de intersecção de f e g e também é a raiz dessas duas funções. Os pontos Q e R são, respectivamente, as intersecções de f e g com o eixo y.
Com base nesses dados e considerando \( \log 2 \cong 0,30\), a área do triângulo PQR, em unidades de área, é igual a
(A) 8,30.
(B) 9,40.
(C) 8,60.
(D) 9,00.
(E) 9,20.
Resolução.
Como queremos a área do triângulo, vamos determinar a distância entre P e O (origem) como sendo a altura do triângulo PQR e a distância entre Q e R sua base.
Como o ponto P é a intersecção das duas funções e esta ocorre sobre o eixo x, podemos descobrir a abscissa de P, fazendo:
$latex f(x) = g(x) = 0$
E usando a função g, teremos:
$latex -x-4 = 0 \to x = -4$
A base do triângulo será, portanto $latex d_{P0}= |0 – (-4) = |0+4| = |4| = 4$
Pela intersecção das funções, temos também $latex f(-4) = 0$, logo:
$latex \log(-4+m) = 0$
$latex -4 + m = 10^0$
$latex m = 4 + 1 \to m = 5$
E reescrevemos a função: $latex f(x) = \log(x+5)$
Para obtermos Q, basta calcular f(0):
$latex f(0) = \log(0+5) = \log 5$
Como $latex \dfrac{10}{2} = 5$, temos
$latex \log 5 = \log \dfrac{10}{2}$
$latex \log \dfrac{10}{2} = \log 10 – \log 2$
Lembrando que $latex \log 2 \cong 0,30$
$latex \log 10 – \log 2 = 1 – 0,30 = 0,70$
Para obter R, vamos calcular g(0):
$latex g(0) = – 0 – 4 = -4$
Agora, sabendo as ordenadas de Q e R, podemos obter a base do triângulo PQR pela distância entre Q e R:
$latex d_{QR} = |0,70 – (-4)| = |0,70 + 4 | = |4,70| = 4,70$
Agora já temos todas as informações necessárias par calcular a área do triângulo PQR;
$latex A_{PQR} = \dfrac{b \cdot h}{2} = \dfrac{4,70 \cdot 4}{2}$
$latex A_{PQR} = 4,70 \cdot 2 = \fbox{9,40}$
Alternativa (B) 9,40.
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