A figura apresenta os gráficos das funções f e g definidas como \( f(x) = \log (x + m)\), com \( m \in \mathbb{R} \), e \(g(x) = – x – 4\).
O ponto P é o ponto de intersecção de f e g e também é a raiz dessas duas funções. Os pontos Q e R são, respectivamente, as intersecções de f e g com o eixo y.
Com base nesses dados e considerando \( \log 2 \cong 0,30\), a área do triângulo PQR, em unidades de área, é igual a
(A) 8,30.
(B) 9,40.
(C) 8,60.
(D) 9,00.
(E) 9,20.
Resolução.
Como queremos a área do triângulo, vamos determinar a distância entre P e O (origem) como sendo a altura do triângulo PQR e a distância entre Q e R sua base.
Como o ponto P é a intersecção das duas funções e esta ocorre sobre o eixo x, podemos descobrir a abscissa de P, fazendo:
\(f(x) = g(x) = 0\)
E usando a função g, teremos:
\(-x-4 = 0 \to x = -4\)
A base do triângulo será, portanto \(d_{P0}= |0 – (-4) = |0+4| = |4| = 4\)
Pela intersecção das funções, temos também \(f(-4) = 0\), logo:
\(\log(-4+m) = 0\)
\(-4 + m = 10^0\)
\(m = 4 + 1 \to m = 5\)
E reescrevemos a função: \(f(x) = \log(x+5)\)
Para obtermos Q, basta calcular f(0):
\(f(0) = \log(0+5) = \log 5\)
Como \(\dfrac{10}{2} = 5\), temos
\(\log 5 = \log \dfrac{10}{2}\)
\(\log \dfrac{10}{2} = \log 10 – \log 2\)
Lembrando que \(\log 2 \cong 0,30\)
\(\log 10 – \log 2 = 1 – 0,30 = 0,70\)
Para obter R, vamos calcular g(0):
\(g(0) = – 0 – 4 = -4\)
Agora, sabendo as ordenadas de Q e R, podemos obter a base do triângulo PQR pela distância entre Q e R:
\(d_{QR} = |0,70 – (-4)| = |0,70 + 4 | = |4,70| = 4,70\)
Agora já temos todas as informações necessárias par calcular a área do triângulo PQR;
\(A_{PQR} = \dfrac{b \cdot h}{2} = \dfrac{4,70 \cdot 4}{2}\)
\(A_{PQR} = 4,70 \cdot 2 = \fbox{9,40}\)
Alternativa (B) 9,40.