No plano cartesiano, os gráficos das funções \( f(x) = 8x – 15 \) e \( g(x) = kx^2 – 4x + 3\), sendo \(k \) uma constante real, têm em comum apenas o ponto de coordenadas \( (p, q) \) do primeiro quadrante.
O valor de \(q\) é
(A) 1.
(B) 3.
(C) 5.
(D) 7.
(E) 9.
Resolução
Como queremos a intersecção,vamos igualar \(f(x) = g(x) \).
Isso nos dará:
\[ kx^2 -4x + 3 = 8x – 15 \]
\[ kx^2 -4x + 3 – 8x + 15 = 0\]
\[ kx^2 -12x + 18 = 0\]
Temos uma equação do segundo grau e sabemos que as funções \(f\) e \(g\) possuem apenas um único ponto em comum, dessa forma, o discriminante \((\Delta)\) dessa equação deve ser igual a 0 (zero).
\[ \Delta = (-12)^2 – 4 \cdot K \cdot 18 \]
\[ \Delta = 144 – 72 \cdot K \]
\[ 144 – 72\cdot k = 0\]
\[ 144 = 72\cdot k \]
\[ k = \dfrac{144}{72}\]
\[ k = 2 \]
Reescrevemos a equação:
\[ 2\cdot x^2 -12x + 18 = 0\]
Dividindo a equação por 2:
\[x^2 – 6x + 9 = 0\]
Reconhecendo o trinômio quadrado perfeito \(x^2 – 6x + 9 = (x-3)^2 \):
\[(x-3)^2 = 0\]
Consequentemente:
\[x-3 = 0\]
\[ x = 3 \]
A intersecção se dá para \(x = 3\) usando esse valor, tanto em \(f(x)\), quanto em \(g(x)\), teremos:
\[ f(3) = 8\cdot 3 – 15 \]
\[ f(3) = 24 – 15 \]
\[ f(3) = \fbox{9} \]
\[ g(3) = 2 \cdot 3^2 – 4\cdot 3 + 3 \]
\[ g(3) = 2 \cdot 9 – 12 + 3 \]
\[ g(3) = 18 – 9 \]
\[ g(3) = \fbox{9} \]
Portanto o ponto \( (p, q) = (3,9) \) e, concluímos que \(q = 9 \).
Alternativa (E) 9.
💡Dica do Professor LG
Chamando Trinômio Quadrado Perfeito de \(TQP\), podemos estabelecer a seguinte relação:
Uma equação do 2º grau da forma \(TQP = 0\) ou \(a\cdot (TQP) = 0\), implica em \( \Delta = 0 \) e, vice-versa.
O uso dessa relação permitiu abreviar o tempo na resolução dessa questão.
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