Em um experimento com gravidade artificial constante, um objeto foi deixado cair do topo de uma torre. Por meio de sensores, os cientistas mediram as posições deste objeto em relação ao solo em três momentos da queda e registraram os dados na tabela que segue.
| Tempo decorrido (segundos) | Posição do objeto (metros) |
|---|---|
| 1 | 80 |
| 2 | 60 |
| 4 | 8 |
Com base em conhecimentos de Física, que estabelecem que a posição em queda livre de um objeto em relação ao solo relaciona-se com o tempo por uma função quadrática, a altura da torre em metros é
A) 108
B) 100
C) 96
D) 90
Resolução
De acordo com o enunciado, vamos criar uma função quadrática genérica \[ h(t) =at^2 + bt + c \]
A altura da torre em metros será obtida calculando-se \(h(0)\) e, pela função, temos:
\[h(0) = a\cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \]
\[ h(0) = c \]
Com esse início, o foco da resolução passa a ser obter o valor de \(c\) e, para isso, vamos utilizar os dados da tabela:
\[h(1) = 80 \to a\cdot 1^2 +b\cdot1 + c = 80 \\ a+b+c= 80 \]
\[h(2) = 60 \to a\cdot2^2 +b \cdot 2 +c = 60 \\ 4a+2b+c = 60\]
\[ h(4) = 8 \to a \cdot 4^2 + b\cdot 4 +c = 8 \\ 16a +4b + c = 8 \]
Vamos resolver esse sistema por escalonamento:
\[\begin{cases} a&+b&+c &= 80 & (I) \\ 4a&+2b&+c &= 60 & (II) \\ 16a&+4b &+ c &= 8 &(III) \end{cases} \]
\[\begin{cases} a&+b&+c &= 80 & (I) \\ &-2b&-3c& =-260 &[ -4\cdot (I) + (II) = (IV)] \\ &-4b &-3c &= -232 & [-4\cdot(II) + (III) = (V)] \end{cases} \]
\[\begin{cases} a&+b&+c &= 80 & (I) \\ &4b&+6c& =520 &[ -2\cdot (IV) = (VI)] \\ &-4b &-3c &= -232 & (V)\end{cases} \]
\[\begin{cases} a&+b&+c &= 80 & (I) \\ &4b&+6c& =520 & (VI) \\ & &3c &= 288 & [(VI) + (V) = (VII)] \end{cases} \]
\[\begin{cases} a&+b&+c &= 80 & (I) \\ &4b&+6c& =520 & (VI) \\ & &c &= 96 & [(VII) \div 3 = (VIII)] \end{cases} \]
Pela equação \(VIII\), temos \( c = \fbox{96} \) e, conforme já havíamos deduzido, \(h(0) = 96\), ou seja, a altura da torre é de 96 m.
Alternativa C) 96
💡 Dica do Professor LG:
Nessa questão, onde partimos da função quadrática \(h(t) = at^2 + bt + c\), identificar a relação \(h(0) = c\) nos permitiu focar o escalonamento em obter c diretamente, calcular as demais incógnitas a e b tomaria um tempo desnecessário e, como sempre digo: “em dia de prova, tempo é artigo de luxo”.
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