A figura ilustra um cilindro equilátero e um cone reto invertido inscrito nesse cilindro, ambos com 20 cm de altura. A base e o vértice do cone coincidem, respectivamente, com a base superior do cilindro e com o centro da base inferior do cilindro.
Obs.: figura fora de escala.
A região interna ao cilindro e externa ao cone está parcialmente ocupada com líquido até uma altura de 12 cm. Esse líquido ocupa um volume de
(A) 766 π cm³.
(B) 768 π cm³.
(C) 1056 π cm³.
(D) 1065 π cm³.
(E) 1440 π cm³.
Inicialmente, devemos lembrar que um cilindro é equilátero se sua altura e seu diâmetro possuem a mesma medida.
A estratégia para resolver essa questão será:
- Calcular o volume do cilindro
- Calcular o volume do cone
- Obter a diferença entre os volumes
Volume do Cilindro
A Fórmula do volume do cilindro é \(V = \pi \cdot R^2 \cdot h\)
Temos \(\begin{cases} R = 10 \\ h = 12 \end{cases}\)
Portanto:
\(V = \pi \cdot 10^2 \cdot 12\)
\(V = \pi \cdot 100 \cdot 12\)
\(V = 1200 \pi \)
Volume do Cone
A fórmula do volume do cone é \(V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\)
Sabemos a altura do cone (12 cm).
Considerando a semelhança de triângulos obtida pela secção transversal, obteremos o raio do cone através de uma regra de três simples considerando altura e raio.
\(\dfrac{20}{12} = \dfrac{10}{r} \Rightarrow 20r = 120\)
\(r =\dfrac{120}{20} \Rightarrow r = 6\)
Calculando o volume do cone
\(V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 12\)
Simplificando \(12 \div 3 = 4\)
\(V = \pi \cdot 36 \cdot 4\)
\(V = 144 \pi\)
Volume do Líquido
O volume do líquido será obtido pela diferença entre o volume do cilindro e o volume do cone.
\(V_l = 1200 \pi – 144 \pi\)
\(V_l =1056 \pi \)
Lembrando que esse volume é dado em centímetros cúbicos, temos como reposta de gabarito:
Alternativa (C) 1056 π cm³.