Duas cidades turísticas, aqui denominadas Hortênsia e Girassol, apresentaram, a partir de 1950, crescimentos exponenciais anuais na ordem de, respectivamente, \(x(n) = 1024(10)^{cn}\), sendo \( c \) positivo, e \(y(n) = 3125(2)^n\), onde \(n\) denota cada ano passado desde 1950.
Se, em 1955, a população de Hortênsia era a metade da população de Girassol, qual é o valor de \( c \) ? (Considere que log representa o logaritmo decimal.)
A) \( 5 – 9 \log(2)\)
B) \(5 – 11 \log(2)\)
C) \( 1 – \dfrac{9}{5} \log(2)\)
D) \(1 -\dfrac{11}{5} \log(2)\)
Resolução
Vamos começar obtendo o valor de \(n\). Como as funções descrevem os crescimentos exponenciais a partir de 1950, devemos ter em 1955:
\[n = 1955 – 1950 = \fbox{5}\]
Agora, a informação crucial do exercício relativa ao ano de 1955 (n=5). A população de Hortênsia era a metade da população de Girassol, usando as funções, temos:
\[ x(5) = \dfrac{y(5)}{2}\]
O que nos dá:
\[ 1024(10)^{c\cdot 5} = \dfrac{3125(2)^5}{2}\]
Antes de desenvolver essa igualdade, vamos fatorar 1024 e 3125 e, dessa forma, obteremos \(\begin{cases}1024 = 2^{10} \\ 3125 = 5^5 \end{cases}\)
\[ 2^{10}(10)^{5c} = \dfrac{5^5\cdot(2)^5}{2}\]
\[ 2^{10}(10)^{5c} = \dfrac{10^5}{2}\]
\[10^{5c}= \dfrac{10^5}{2\cdot 2^{10}} \]
\[10^{5c}= \dfrac{10^5}{2^{11}} \]
Aplicando log em ambos os lados da equação:
\[\log 10^{5c}= \log \dfrac{10^5}{2^{11}} \]
\[ 5c= \log 10^5 – \log2^{11} \]
\[ 5c= 5 – 11 \log2 \]
\[ c= \dfrac{5 – 11 \log2}{5} \]
\[ c= \dfrac{5}{5} – \dfrac{11 \log2}{5} \]
\[ c= 1 – \dfrac{11}{5} \log2 \]
Desta forma, obtendo o valor de \(c\), podemos marcar alternativa D) \(1 -\dfrac{11}{5} \log(2)\)
Ferramentas:
O que você precisa saber nessa resolução:
Admitindo respeitadas as condições de existência
\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)
\(log_a a^n = n \)
\(log_a b^n = n \cdot \log_a b \)
\( \log \dfrac_a{b}{c} = \log_a b – \log_a c\)
💡Dica do Professor LG
Ao fatorarmos \( 3125 = 5^5\) ganhamos a oportunidade de multiplicar pelo \(2^5\) da função obtendo \(10^5\). Como o estamos usando logaritmo decimal (base 10), ganhamos agilidade na resolução pelo uso da propriedade \(log_a a^n = n \).
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