Uma administração de reserva ecológica utiliza três sensores para detectar focos de incêndio em uma área de preservação. Os sensores estão posicionados a diferentes distâncias de uma torre de comunicação:
- Sensor A: 30 km da torre;
- Sensor B: 40 km da torre;
- Sensor C: 60 km da torre.
Estudos indicam que a probabilidade de um sensor transmitir com sucesso o sinal de alerta até a torre de comunicação é inversamente proporcional ao quadrado da distância que o separa dessa mesma torre. Sabe-se que a probabilidade de o Sensor A transmitir corretamente um alerta é igual a \( \dfrac{2}{3}\) . Considere que os sensores operam de forma independente.
A probabilidade de que pelo menos um dos sensores transmita corretamente um alerta é:
A) \( \dfrac{106}{135} \)
B) \( \dfrac{119}{144}\)
C) \( \dfrac{120}{160}\)
D) \( \dfrac{110}{144}\)
E) \( \dfrac{119}{154}\)
Resolução
A estratégia para encontrar as grandezas inversamente proporcionais é encontrar um fator \(K\), tal que a probabilidade de cada sensor transmitir o sinal, multiplicado pelo quadrado da distância do sensor até a torre será sempre esse mesmo fator \(K\). Temos então:
\[ \begin{cases} P(A) \cdot 30^2 = K \\ P(B) \cdot 40^2 = K \\ P(C) \cdot 60^2 = K\end{cases} \]
Mas, sabemos que \( P(A) = \dfrac{2}{3}\), logo:
\[ \dfrac{2}{3} \cdot 900 = K \\ \dfrac{1800}{3} = K \\ K = \fbox{600} \]
Sabendo o valor de \(K\), vamos descobrir as outras probabilidades.
\[ P(B) \cdot 1600 = 600 \\ P(B) = \dfrac{600}{1600} \\ P(B) = \dfrac{3}{8} \]
\[ P(C) \cdot 3600 = 600 \\ P(C) = \dfrac{600}{3600} \\ P(C) = \dfrac{1}{6} \]
Agora, que conhecemos todas as probabilidades, vamos buscar a probabilidade de que pelo menos um sensor transmita um alerta corretamente.
Como há várias formas de isso acontecer,vamos imaginar como esse fato não ocorreria e a resposta é, se todos os sensores falharem. Isso nos dá uma maneira de obter a probabilidade procurada usando probabilidade complementar.
\[ P(A) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow P(A^c) = 1 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \\ P(B) = \dfrac{3}{8} \Rightarrow P(B^c) = 1 – \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} \\ P(C) = \dfrac{1}{6} \Rightarrow P(C^c) = 1 – \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} \]
Como os sensores operam de forma independente, a probabilidade de todos falharem será dada por:
\[ P(A^c \cap B^c \cap C^c) = P(A^c)\cdot P(B^c) \cdot P(C^c) \\ P(A^c)\cdot P(B^c) \cdot P(C^c) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{5}{6}\\ \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{144} \]
E, com esse resultado, finalmente podemos calcular a probabilidade de pelo menos um sensor emitir o alerta.
\[ 1 – P(A^c \cap B^c \cap C^c) = 1 – \dfrac{25}{144} \\ 1 – P(A^c \cap B^c \cap C^c) = \dfrac{144-25}{144} \\ 1 – P(A^c \cap B^c \cap C^c) = \dfrac{119}{144} \]
Gabarito
Alternativa B) \( \dfrac{119}{144}\)