UNIFESP 2026 – Geometria Plana | Questão 18 Resolvida

No plano, o segmento PS intersecta os lados do quadrado ABCD nos pontos Q e R, conforme a figura.

Segmento PS intersectando o quadrado ABCD nos pontos Q e R. Triângulos retângulos PQA e QRT em um plano cartesiano. Geometria Plana UNIFESP 2026.

a) Se a medida x do segmento PA for igual a 9 cm, qual será a área do quadrado ABCD?
b) Se a medida y do segmento RS for igual a 14 cm, qual será a área do triângulo QRT?

Resolução (a)

Observando a figura, podemos notar que o lado do quadrado ABCD tem a mesma medida que o lado QT do triângulo QRT.

Como os triângulos QRT e PQA são triângulos retângulos semelhantes, seus lados são proporcionais e podemos usar uma regra de três simples para obter a medida de QT.

$\dfrac{10}{9} = \dfrac{12}{(QT)}$

Multiplicando em cruz:

$10(QT) = 12 \cdot 9$

$QT = \dfrac{108}{10}$

$QT = 10,8$

Agora, que conhecemos o lado do quadrado ABCD (10,8 cm), podemos calcular sua área:

$A_{\square} = 10,8^2$

$A_{\square} = 116,64$

Portanto, a área do quadrado ABCD é de 116,64 cm²

Resolução (b)

Inicialmente, vamos prolongar o segmento PB até um ponto V, coincidente com projeção perpendicular de S nesse segmento.

Diagrama geométrico com o prolongamento do segmento PB até o ponto V e a projeção perpendicular de S, formando o triângulo retângulo PSV semelhante ao triângulo QRT. Resolução UNIFESP.

Dessa forma, teremos que os triângulos QRT e PSV são semelhantes, o que nos permite estabelecer a seguinte relação:

$\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{10+12+14}{12}$

$\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{36}{12}$

$\dfrac{SV}{RT} = 3$

$SV = 3(RT)$

Como SV coincide com o lado do quadrado ABCD e também a medida do lado do quadrado é igual a medida de QT, temos a seguinte relação entre os catetos do triângulo QRT

$QT = 3(RT)$

Antes de aplicar o teorema de Pitágoras, vamos focar no que o exercício pede, ou seja, a área do triângulo QRT

$A_{\Delta} = \dfrac{(QT) \cdot (RT)}{2}$

$A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT) \cdot (RT)}{2}$

$A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}$

Note que com essas substituições feitas, a área do triângulo QRT depende unicamente de descobrirmos a medida de (RT)², a qual será obtida aplicando o Teorema de Pitágoras.

$(RT)^2 + (QT)^2 = 12^2$