No plano cartesiano, a reta r, de equação \(y = – \dfrac{5}{2}x + 12\), intersecta a reta s, de equação \(y = x + 5\), no ponto P. A reta r intersecta o eixo x no ponto R, e a reta s intersecta o eixo y no ponto S, como na figura.
A área do triângulo de vértices PRS é
(A) \(\dfrac{44}{5}\)
(B) \(\dfrac{47}{5}\)
(C) \(\dfrac{51}{5}\)
(D) \(\dfrac{54}{5}\)
(E) \(\dfrac{49}{5}\)
O primeiro passo será obter as coordenadas dos pontos P, R e S.
Para obter o ponto P, vamos buscar a intersecção das retas r e s.
\(\begin{cases} r: y = – \dfrac{5}{2}x + 12 \\ s: y = x + 5 \end{cases}\)
Substituindo \(y = x+5\) em r:
\(x + 5 = – \dfrac{5}{2}x + 12\)
\(x + \dfrac{5}{2}x = 12 – 5\)
\(\dfrac{7x}{2} = 7\)
\(x = \dfrac{2 \cdot 7}{7} \)
\(x = 2 \)
\(y = 2 + 5\)
\(y = 7\)
Portanto, \(P(2,7)\)
O ponto R é obtido fazendo \(y = 0\) em r:
\(0 = – \dfrac{5}{2}x + 12\)
\( \dfrac{5}{2}x = 12\)
\(x = \dfrac{2 \cdot 12}{5}\)
\(x = \dfrac{24}{5}\)
Portanto, \(R \left( \dfrac{24}{5},0 \right)\)
O ponto S é obtido fazendo \(x = 0\) em s:
\(y = 0 + 5 \)
\(y = 5\)
Portanto, \(S(0,5)\)
O segundo passo, agora que sabemos as coordenadas dos vértices do triângulo, é utilizar a fórmula da área \(A = \dfrac{1}{2} |D|\), sendo \(D\) o determinante da matriz \(3 \times 3\) das coordenadas dos vértices.
Calculando \(D\):
\(D = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 1 \\ \frac {24}{5} & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{vmatrix}\)
\(D = 0 +0 + 24 – 0 – 10 – \dfrac{168}{5}\)
\(D = \dfrac{120 – 50 -168}{5}\)
\(D = – \dfrac{98}{5}\)
Com o determinante calculado, podemos aplicar a fórmula da área: \(A = \dfrac{1}{2} |D|\).
\(A = \dfrac{1}{2} \cdot \left| -\dfrac{98}{5} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{98}{5} = \boxed{\dfrac{49}{5}}\)
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