No plano cartesiano, a reta r de equação \(y = \dfrac{x}{2}+ 3\) intersecta a reta s no ponto P(2, 4) e intersecta o eixo das ordenadas no
ponto Q. A reta s, de coeficiente angular ms = – 1, intersecta o eixo das abscissas no ponto R e a reta t passa pelos pontos Q e R.
A equação da reta t é
(A) \(y = -\dfrac{x}{2}+ 3\)
(B) \(y = -\dfrac{x}{2}+ \dfrac{3}{2}\)
(C) \(y = \dfrac{x}{3}+ 1\)
(D) \(y = \dfrac{x}{3}+ 3\)
(E) \(y = -x+ 3\)
Revisão
A equação da reta de coeficiente angular \(m\) que passa pelo ponto \(P(x_0,y_0)\) pode ser obtida através da fórmula:
\[ y-y_0 = m(x-x_0)\]
Sendo o coeficiente angular \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
Resolução
Vamos descobrir as coordenadas dos pontos Q e R e, em seguida a equação da reta t.
Para obter as coordenadas de Q, fazemos \(x = 0\) na equação da reta r: \(y = \dfrac{x}{2}+ 3\).
\[y = \dfrac{0}{2}+ 3\]
\[y = 0 + 3 \Rightarrow y = 3\]
Logo, temos Q(0,3)
Para descobrir R, precisamos encontrar a equação da reta s que passa pelo ponto P(2,4) com coeficiente angular é ms = -1.
\[y-4=-1(x-2)\]
\[y = -x+2+4\]
\[y = -x+6\]
Como R é a intersecção da reta s com o eixo x, obtemos suas coordenadas fazendo \(y = 0\).
\[0 = -x + 6\]
\[ x = 6\]
Temos, portanto R(6,0).
Agora, que conhecemos as coordenadas de Q(0,3) e R(6,0), vamos obter o coeficiente angular da reta t.
\[ m_t = \dfrac{0-3}{6-0}\]
\[ m_t = -\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2}\]
Como t passa pelo ponto R(6,0), vamos obter a equação da reta t.
\[y – 0 = -\dfrac{1}{2}(x-6)\]
\[y = -\dfrac{x}{2} + \dfrac{6}{2} \]
\[y = -\dfrac{x}{2} + 3 \]
Gabarito
Alternativa (A) \(y = – \dfrac{x}{2}+ 3\)
Outra alternativa de resolução dessa questão, seria obter o ponto Q da mesma forma que a primeira resolução e o ponto R utilizando o coeficiente angular ms = -1 e analisando gráfico.
O coeficiente angular \(m_s = -1\) nos diz que, para cada unidade percorrida no sentido positivo do eixo \(x\), a reta decresce uma unidade no eixo \(y\).
Assim, saindo do ponto P(2,4), para chegar ao eixo \(x\) é necessário decrescer 4 unidades no eixo \(y\) e, consequentemente, o gráfico percorrer 4 unidades no sentido positivo do eixo \(x\) (para a direita), chegando a \(R(2+4,4-4) = R(6,0)\).
Agora, para obtermos a equação da reta sem repetirmos o mesmo método, vamos usar a forma segmentária com os pontos Q(0,3) e R(6,0). (Esse método está no livro sugerido ao final do post.)
\[ \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3}= 1 \]
Como queremos \(y\) isolado:
\[ \dfrac{y}{3} = -\dfrac{x}{6} + 1\]
Multiplicando a equação por 3
\[y=-\dfrac{x}{2}+3\]
O que confirma a Alternativa (A)
Para finalizar, vamos resolver essa questão analisando as alternativas.
Apenas utilizando o ponto Q(0,3) que obtivemos na primeira resolução, sabemos que o coeficiente linear da reta t é igual a 3.
(A) \(y = -\dfrac{x}{2}+ 3\)
(B) \(y = -\dfrac{x}{2}+ \dfrac{3}{2}\) (ELIMINADA)
(C) \(y = \dfrac{x}{3}+ 1\) (ELIMINADA)
(D) \(y = \dfrac{x}{3}+ 3\)
(E) \(y = -x+ 3\)
Observando o gráfico, notamos que a reta t é decrescente,logo seu coeficiente angular é negativo.
(A) \(y = -\dfrac{x}{2}+ 3\)
(B) \(y = -\dfrac{x}{2}+ \dfrac{3}{2}\) (ELIMINADA)
(C) \(y = \dfrac{x}{3}+ 1\) (ELIMINADA)
(D) \(y = \dfrac{x}{3}+ 3\) (ELIMINADA)
(E) \(y = -x+ 3\)
Agora ficamos entre duas alternativas (A) e (E).
A alternativa (E) \(y = -x+ 3\) nos dá uma equação de reta com coeficiente angular igual a -1 e, por esse motivo nós a eliminaremos pois, nesse caso, a reta t seria paralela à reta s o que é um absurdo pois elas são distintas e possuem o ponto R em comum.
(A) \(y = -\dfrac{x}{2}+ 3\)
(B) \(y = -\dfrac{x}{2}+ \dfrac{3}{2}\) (ELIMINADA)
(C) \(y = \dfrac{x}{3}+ 1\) (ELIMINADA)
(D) \(y = \dfrac{x}{3}+ 3\) (ELIMINADA)
(E) \(y = -x+ 3\) (ELIMINADA)
💡 Dica do Professor LG
Na primeira resolução, quando fomos obter a equação da reta t, tinhamos duas escolhas para o par ordenado \( (x_0,y_0)\) e optamos por R(6,0).
Poderíamos ter optado por Q(0,3) e o resultado seria o mesmo.
Fica como sugestão testar essa opção.