Cada local de uma cidade plana pode ser representado por um par ordenado (x, y) em um plano cartesiano desenhado sobre o
mapa dessa cidade. A figura mostra esse plano cartesiano, com a indicação de duas ruas retilíneas que são perpendiculares no ponto de coordenadas (8, 3).
Mariana mora nessa cidade, no ponto em que a representação da Rua São Camilo no plano cartesiano intersecta o eixo x. Esse ponto tem coordenadas
(A) \( ( 11 , 0) \)
(B) \( ( 10 , 0 ) \)
(C) \( \left( \dfrac{17}{2}, 0 \right) \)
(D) \( \left( \dfrac{19}{2}, 0 \right) \)
(E) \( \left( \dfrac{21}{2}, 0 \right) \)
Resolução
Vamos resolver essa questão de acordo com a seguinte estratégia passo a passo.
- Obter o coeficiente angular da Rua São Lucas \( m_l \).
- Usar a perpendicularidade entre as ruas para obter o coeficiente angular da rua São Camilo \(m_c\)
- Sabendo \(m_c\) e o ponto (8,3) da rua São Camilo, obter a equação da reta da rua São Camilo
- Com a equação da reta, fazer y = 0 para obter a intersecção com o eixo x
Obter o coeficiente angular da Rua São Lucas \( m_l \)
Usando os pontos (2,0) e (8,3), temos
\[ m_l = \dfrac{\Delta y}{ \Delta x} \]
\[ m_l = \dfrac{3-0}{ 8-2 } \]
\[ m_l = \dfrac{3}{ 6} \]
\[ m_l = \dfrac{1}{2} \]
Usar a perpendicularidade entre as ruas para obter o coeficiente angular da rua São Camilo \(m_c\)
Como as ruas são perpendiculares o coeficiente angular da rua São Camilo é o oposto inverso do coeficiente angular da rua São Lucas.
\[ m_c = -\dfrac{1}{m_l} \]
\[ m_c = -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} \]
\[ m_c = -1 \cdot {\dfrac{2}{1}} \]
\[ m_c = -2 \]
Sabendo \(m_c\) e o ponto (8,3) da rua São Camilo, obter a equação da reta.
Usando a fórmula \( (y – y_0) =m(x – x_0) \) teremos:
\[ (y-3) = m_c(x-8) \]
\[ y-3 = -2(x-8) \]
\[ y-3 = -2x+16 \]
\[ 2x +y-3-16=0\]
\[2x+y-19=0\]
Com a equação da reta, fazer y = 0 para obter a intersecção com o eixo x
\[y = 0 \to 2x+0-19=0\]
\[2x = 19 \]
\[ x = \dfrac{19}{2} \]
Portanto a intersecção com o eixo x será o ponto de coordenadas \( \left( \dfrac{19}{2}, 0 \right) \)
Gabarito
Alternativa (D) \( \left( \dfrac{19}{2}, 0 \right) \)
Uma forma alternativa de resolver essa questão de forma mais visual, porém conceitualmente consistente com a primeira resolução seria a seguinte:
Podemos observar na figura que quando saímos de (2,0) para (8,3) andamos 6 unidades para a direita e 3 unidades para cima, o que proporcionalmente nos dá que a cada duas unidades que andamos para direita \( \to \) subimos uma unidade \( \uparrow\), para irmos pelo caminho perpendicular invertemos essa proporção e mudamos o sentido, isso significa que agora cada unidade que andarmos para a direita \( \to \) vamos descer \( \downarrow \) duas unidades.
Como estamos em (8,3) e precisamos descer 3 unidades, proporcionalmente andaremos 1,5 unidades para a direita
O ponto que iremos chegar é
\[( ( 8 + 1,5 ; 3-3) = (9,5;0) = \left( \dfrac{19}{2}, 0 \right) \]
Gabarito
Alternativa (D) \( \left( \dfrac{19}{2}, 0 \right) \)
💡 Dica do Professor LG
Entender Matemática de forma mais conceitual nos dá a segurança de testarmos métodos alternativos para resolver questões. Isso pode economizar um bom tempo nos dias de provas.