UNIFESP, Vestibular

UNIFESP 2026 – Imagem de uma Função e Função Quadrática | Questão 19 Resolvida

Sejam a, b, c e p constantes reais. A lei de formação de uma função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} e seu respectivo gráfico são dados a seguir:

f(x) = \begin{cases} - x+2, \qquad\text{se } x<p \\ x- 6, \qquad \text{se } p \leq x < 9 \\ ax^2 + bx + c, \qquad \text{se } x \geq 9 \end{cases}

Gráfico de função definida por partes composta por uma reta decrescente para x menor ou igual a p e uma parábola para x maior que p. Interseção das funções no ponto de abscissa p - UNIFESP 2026

a) Sabendo que os gráficos das funções g(x) = -x + 2 e h(x) = x - 6 se intersectam no ponto de abscissa p, determine a imagem de f.


b) Sabendo que f(9) = 3, determine f(21).

Resolução (a)

Para obtermos a imagem de f, devemos observar que tanto para x < p como para x \geq 9 o gráfico da função cresce infinitamente, sendo assim, devemos procurar o valor mínimo da função de f, que ocorre para x = p.

Para obtermos o valor de p, vamos obter a intersecção de g(x) com h(x).

-x + 2 = x - 6

- x - x = - 6 - 2

-2x = -8 \Rightarrow 2x = 8

x = \dfrac{8}{2}

x = \fbox{4}

Agora, calculamos f(4) = -4 + 6 = -2

Concluímos que o valor mínimo da função f é -2 e, consequentemente, sua imagem será:

Im_f =\{ y \in \mathbb{R} | y \geq -2\}

Resolução (b)

A função quadrática f(x) = ax^2 +bx + c pode ser reescrita na forma canônica da seguinte maneira:

f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v

Observando, pelo gráfico, que o vértice da parábola é o ponto V(12,0), a função fica:

f(x) = a (x - 12)^2 + 0

Como é informado que f(9) = 3, temos:

a(9-12)^2 = 3

a(-3)^2 = 3

9a = 3

a = \dfrac{3}{9} \Rightarrow a = \dfrac{1}{3}

Temos então f(x) = \dfrac{1}{3}(x-12)^2

Podemos agora calcular f(21)

f(21) = \dfrac{1}{3}(21- 12)^2

f(21) = \dfrac{1}{3}(9)^2

f(21) = \dfrac{81}{3}

f(21) = \fbox{27}

Portanto, concluímos que f(21) = 27.

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