Um grupo de 10 alunos ficou responsável pela apresentação de um trabalho de química na feira de ciências da escola, que ocorrerá nos períodos matutino e vespertino de certo sábado.
Para o período matutino, ficou decidido que 7 desses alunos deveriam participar. Se, dos 10 alunos, apenas Rodrigo não pode comparecer pela manhã, o número de maneiras distintas de escolher os 7 alunos para esse período é
(A) 36.
(B) 48.
(C) 60.
(D) 72.
(E) 120.
Resolução
A primeira observação a ser feita nessa questão é que a ordem não importa. Sendo assim trata-se de uma questão de combinação e a fórmula utilizada é $latex C_{n,p} = \dfrac{n!}{p! \cdot (n-p)!}$, onde n é o número total de elementos do conjunto original e p é o número de elementos que precisamos escolher.
No enunciado somos informados que Rodrigo não pode comparecer pela manhã, isso reduz a quantidade de alunos disponíveis a participar, logo, teremos $latex n = 10 – 1 \to n = 9 \text{ e } p = 7$.
Aplicando a fórmula:
$latex C_{9,7} = \dfrac{9!}{7!\cdot (9-7)!}$
$latex C_{9,7} = \dfrac{9!}{7!\cdot 2!}$
Simplificando 7!, temos:
$latex C_{9,7} = \dfrac{9\cdot 8 \cdot \not{7}!}{\not{7}!\cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{9 \cdot 8}{2}$
Dividindo o numerador e o denominador por 2:
$latex C_{9,7} = \dfrac{9\cdot \not{8}^4}{\not{2}}$
$latex C_{9,7} = 9 \cdot 4 = \fbox{36}$
Portanto, teremos 36 maneiras distintas de escolher o grupo de 7 alunos.
Gabarito: (A) 36.
Esse questão trouxe como um distrator a alternativa (E) 120, pois, caso se esqueça de se subtrair o aluno Rodrigo do grupo de 10 alunos, teríamos $latex C_{10,7} = 120$.
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