Os números 8 e 107 são os extremos de uma progressão aritmética (PA) de razão inteira e positiva. Sabendo que essa PA tem mais de 20 termos e menos de 50 termos, seu trigésimo primeiro termo é

(A) 95.
(B) 88.
(C) 84.
(D) 91.
(E) 98.

Resolução

Iniciamos a resolução dessa questão calculando a diferença 107 – 8 = 99.

Essa informação será usada para obtermos a razão dessa PA. Como temos uma diferença entre o primeiro e o último termo igual a 99 e sabendo que a razão é inteira e positiva, a razão será um divisor de 99.

D(99) = {1, 3, 9, 11, 33, 99}

A quantidade de termos de acordo com as possíveis razões obtidas entre os divisores de 99 é igual ao resultado da divisão de 99 pela razão somado com 1. (Essa relação em que adicionamos 1 ao quociente, pode parecer anti-intuitiva, mas pense no caso extremo da razão ser 99, nesse caso teríamos dois termos o 8 e 8+99 = 107).

Vamos colocar a quantidade de termos em forma de tabela:

Razão	(99 ÷ Razão)	Nº Termos
1	99÷1=99	100
3	99÷3=33	34
9	99÷9=11	12
11	99÷11=9	10
33	99÷33=3	4
99	99÷99=1	2

Com essa tabela e, sabendo que a PA tem mais de 20 e menos que 50 termos, podemos afirmar que essa PA tem razão igual a três.

Usando a fórmula e sabendo que: .

Teremos:

Portanto, o trigésimo primeiro termo dessa PA é o número 98.