No plano cartesiano são colocados os pontos \(A(3,3), B(6,3), C(5,1)\) e \(D(2,1)\). Considere as seguintes afirmações:
- I. O polígono \(ABCD\) é um paralelogramo.
- II. A área deste polígono é igual a 6.
- III. As diagonais deste polígono têm a mesma medida, que é igual a \(2 \sqrt{5}\).
Estão corretas as afirmativas
A) I e II, apenas.
B) I e III, apenas.
C) II e III, apenas.
D) I, II e III.
Resolução
Antes de começarmos analisar cada uma das proposições, vamos entender melhor o polígono ABCD.
- \(ABCD\) possui 4 vértices, logo é um quadrilátero.
- \(A(3,3)\) e \(B(6,3)\) têm ordenadas = 3, isso implica que o segmento \(AB\) é paralelo ao eixo x.
- \(C(5,1)\) e \(D(2,1)\) têm ordenadas = 1, temos também que o segmento \(CD\) é paralelo ao eixo x.
Como esses lados são paralelos ao eixo x, suas medidas, tanto do lado \(AB\) como do lado \(CD\), são obtidas pela diferença entre suas abscissas.
\[ \begin{cases} AB =6-3 = 3 \\ CD= 5 – 2 = 3 \end{cases}\]
Estabelecido esses fatos, vamos às proposições:
I. O polígono ABCD é um paralelogramo.
Como \(AB\) e \(CD\) são paralelos ao eixo x, temos que \(AB \parallel CD \) e, mais ainda, as medidas nos dão \(AB = CD = 3\).
Temos um quadrilátero com dois lados paralelos e de mesma medida, logo \(ABCD\) é um paralelogramo.
Proposição I.: V
II. A área deste polígono é igual a 6.
Já sabemos que a base do paralelogramo mede 3, falta determinar sua altura para obtermos sua área.
Como os lados \(AB\) e \(CD\) são paralelos ao eixo x, para determinar sua altura, basta obter a diferença entre a projeção de \(AB\) no eixo y e a projeção de \(CD\) no eixo y. Temos:
\[ h = |1-3| = |-2| = 2\]
A área \(S\) desse polígono será dada por:
\[S = 3 \cdot 2 = \fbox{6}\]
Proposição II.: V
III. As diagonais deste polígono têm a mesma medida, que é igual a \(2 \sqrt{5}\).
A diagonal é igual a distância entre vértices opostos:
Diagonal \(BD\):
\[D_{BD} = \sqrt{(2-6)^2 + (1-3)^2}\]
\[D_{BD} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}\]
\[D_{BD} = \sqrt{16 + 4}\]
\[D_{BD} = \sqrt{20}\]
\[D_{BD} = 2\sqrt{5}\]
Aqui está o distrator dessa questão pois, \(2 \sqrt{5}\) está citado na proposição, mas se calcularmos a outra diagonal.
Diagonal \(AC\):
\[D_{AC} = \sqrt{(5-3)^2 + (1-3)^2}\]
\[D_{AC} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2}\]
\[D_{AC} = \sqrt{4+4}\]
\[D_{AC} = \sqrt{8}\]
\[D_{AC} = 2\sqrt{2}\]
Concluímos que \(AC \neq BD\), logo:
Proposição III.: F
Os valores lógicos das proposições são:
- I. V
- II. V
- III. F
Logo, marcamos a resposta de gabarito
Alternativa A) I e II, apenas.
💡 Dica do Professor LG
Mostramos os cálculos das medidas das diagonais para reforçar o entendimento de como o examinador cria distratores, porém esse cálculo é desnecessário, veja a saída rápida para determinara a falsidade da proposição III.
Os lados \(AB\) e \(CD\) paralelos e de mesma medida, caracterizando o paralelogramo.
Um paralelogramo com diagonais de mesma medida deve ser um retângulo e, para isso, os lados \(BC\) e \(DA\) devem ser perpendiculares aos lados \(AB\) e \(CD\).
Isso só aconteceria se esses lados fossem paralelos ao eixo y.
Tal fato não ocorre pois as abscissa de \(A\) e \(D\) são diferentes, o mesmo acontecendo com as abscissas de \(B\) e \(C\), logo ABCD não é retângulo e, portanto, suas diagonais não possuem a mesma medida conforme podemos observar na figura abaixo:
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