Cinco dígitos são retirados, aleatoriamente, do palíndromo 1001001. A probabilidade de os dois dígitos restantes serem zero e um, em qualquer ordem, é
A) 2/7
B) 3/7
C) 1/2
D) 4/7
Resolução
Quando a questão pede a probabilidade de algum evento, devemos pensar em uma razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
Pense assim:
- Casos favoráveis é o que eu quero que aconteça.
- Casos possíveis: é tudo o que pode acontecer.
Casos favoráveis
Na questão, o que eu quero que aconteça é que após cinco dígitos retirados do palíndromo 1001001 os dois dígitos restantes sejam zero e 1, em qualquer ordem.
Agora vamos pensar de quantas formas isso pode ocorrer.
Contando a quantidade de cada um dos dois dígitos, temos 3 dígitos 1 e 4 dígitos 0.
Para que sobre exatamente um digito 1 e um dígito 0, precisamos retirar do palíndromo 2 dígitos 1 e 3 dígitos 0.
Como a ordem não importa, teremos o produto de duas combinações, a saber:
\[ C_{3,2} \cdot C_{4,3}\]
Antes de desenvolver esses cálculos, vale lembrar dessa propriedade:
\[C_{n,n-1} = n \]
Sendo assim:
\[ C_{3,2} \cdot C_{4,3} = 3 \cdot 4 = \fbox{12}\]
Casos possíveis
A quantidade de casos possíveis será dada observando o problema sem restrições, isto é, vamos retirar cinco dígitos do palíndromo 1001001.
De quantas formas isso pode ocorrer, lembrando novamente que a ordem não importa, temos:
\[C_{7,5} = \dfrac{7!}{5!\cdot(7-5)!}\]
\[C_{7,5} = \dfrac{7!}{5!\cdot2!}\]
\[C_{7,5} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!\cdot2 \cdot 1}\]
Simplificando 5! com 5!
\[C_{7,5} = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1}\]
\[C_{7,5} = \dfrac{42}{2}\]
\[C_{7,5} = \fbox{21} \]
Cálculo da probabilidade:
Agora que já sabemos a quantidade de casos favoráveis e a quantidade de casos possíveis, vamos chamar o evento do enunciado de A e calcular:
\[P(A) = \dfrac{12}{21}\]
\[P(A) = \dfrac{12\div3}{21\div3}\]
\[P(A) = \dfrac{4}{7}\]
Alternativa D) 4/7
💡 Dica do Professor LG
A propriedade \(C_{n,n-1} = n \) pode ser justificada pelo seguinte fato: Se de n elementos iremos escolher n -1, significa que iremos descartar um único dos n elementos, ou seja, temos n escolhas.
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