Em uma sala com 30 alunos, 5 deles serão sorteados para ganhar um livro. A probabilidade de Juliana e Sofia, alunas dessa sala, serem ambas sorteadas é de:
(A) \( \dfrac{2}{25} \)
(B) \( \dfrac{1}{27} \)
(C) \( \dfrac{1}{15} \)
(D) \( \dfrac{2}{87} \)
(E) \( \dfrac{1}{14} \)
Resolução
Vamos chamar Juliana e Sofia de A e os outros 28 alunos de B.
Como queremos um evento E, no qual Juliana, Sofia e outros três alunos, sem restrição, sejam sorteados, uma configuração possível desse evento E, com relação a ordem do sorteio é:
AABBB
A probabilidade de ocorrer essa configuração é dada por:
$$ P(E_1) = \dfrac{2}{30} \cdot \dfrac{1}{29} = \dfrac{2}{870} $$
Como existem outras configurações, em outras ordens, precisamos multiplicar essa probabilidade pela quantidade de ordens diferentes:
Essa quantidade pode ser obtida através de uma permutação com repeticão:
$$P_5^{3,2} = \dfrac{5!}{3!\cdot 2!} $$
$$P_5^{3,2} = \dfrac{5\cdot 4 \cdot 3!}{3!\cdot 2 \cdot 1} $$
$$P_5^{3,2} = \dfrac{5\cdot 4}{2} $$
$$P_5^{3,2} = \dfrac{20}{2} = \fbox{10} $$
Agora, podemos obter a probabilidade através do produto a seguir:
$$ P(E) = 10 \cdot \dfrac{2}{870} $$
$$ P(E) = \dfrac{20}{870} $$
$$ P(E) = \dfrac{2}{87} $$
Alternativa (D) \( \dfrac{2}{87} \)