Considerando o determinante \( A_{1}=\begin{vmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 0 & 1/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{vmatrix} \) e a sequência definida por \(A_{n+1}=\begin{vmatrix} A_{n} & 4 & 6 \\ 0 & 1/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{vmatrix} \), para \( n = 1, 2, 3, \ldots \), são feitas as seguintes afirmações:
- I. A sequência assim construída é uma PG.
- II. O inverso do sexto termo desta sequência é igual ao produto de 64 pelo cubo de 9.
- III. A soma dos infinitos termos desta sequência é igual a 6/5.
Estão corretas as afirmativas
A) I e II, apenas.
B) I e III, apenas.
C) II e III, apenas.
D) I, II e III.
Resolução
Algumas definições antes de iniciar essa resolução:
- Matriz Triangular: Uma matriz é chamada de triangular se os elementos acima ou abaixo de sua diagonal principal são todos iguais a zero.
- O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal.
Note que no cálculo do determinante \( A_{1}=\begin{vmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 0 & 1/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{vmatrix} \), por ser uma matriz triangular, teremos:
\[ A_1 = 1 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \]
Pelo enunciado, teremos \( A_2=\begin{vmatrix} A_1 & 4 & 6 \\ 0 & 1/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{vmatrix} \)
\[ A_2=\begin{vmatrix} 1/6 & 4 & 6 \\ 0 & 1/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{vmatrix} \]
\[A_2 = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{36} \]
Nesse momento, podemos observar que os elementos \(1/2\) e \(1/3\) são fixos e, podemos obter diretamente:
\[A_3 = A_2 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} \]
\[A_3 = \dfrac{1}{36}\times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{216} \]
Note que temos um padrão:
\[ \begin{cases} A_1 = \dfrac{1}{6} \\ A_2 = \dfrac{1}{36} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \\ A_3 = \dfrac{1}{216} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 \end{cases} \]
Seguindo esse padrão, teremos \( A_n = \left( \dfrac{1}{6} \right)^n \) e, agora, vamos analisar as proposições do enunciado:
I. A sequência assim construída é uma PG. (V)
\[ \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{36}, \dfrac{1}{216}, \ldots \]
É de fato uma PG com \( \begin{cases} A_1 = \dfrac{1}{6} \\ q = \dfrac{1}{6} \end{cases} \)
II. O inverso do sexto termo desta sequência é igual ao produto de 64 pelo cubo de 9. (V)
Conforme o padrão estabelecido, \( A_6 = \left( \dfrac{1}{6} \right)^6 \).
O inverso do sexto termos será:
\[ \left[ \left( \dfrac{1}{6} \right)^6 \right]^{-1} = \left( \dfrac{1}{6} \right)^{-6} = 6^6 \]
Verifiquemos o produto de 64 pelo cubo de 9.
\[ 64 \times 9^3 = 2^6 \times (3^2)^3 = 2^6 \times 3^6 = 6^6 \]
Temos a igualdade verificada.
III. A soma dos infinitos termos desta sequência é igual a 6/5. (F)
A soma infinita de uma PG com \(-1 < q < 1\) é dada pela fórmula \(S_{\infty} = \dfrac{A_1}{1-q} \)
Teremos então:
\[ S_{\infty} = \dfrac{\dfrac{1}{6}}{1-\dfrac{1}{6}} \]
\[ S_{\infty} = \dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{5}{6}} \]
\[ S_{\infty} = \dfrac{1}{5} \]
\[ S_{\infty} \neq \dfrac{6}{5} \]
Gabarito
De acordo com as proposições do enunciado, temos:
- I. A sequência assim construída é uma PG. (V)
- II. O inverso do sexto termo desta sequência é igual ao produto de 64 pelo cubo de 9. (V)
- III. A soma dos infinitos termos desta sequência é igual a 6/5. (F)
Alternativa: A) I e II, apenas.
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