Os números 8 e 107 são os extremos de uma progressão aritmética (PA) de razão inteira e positiva. Sabendo que essa PA tem mais de 20 termos e menos de 50 termos, seu trigésimo primeiro termo é
(A) 95.
(B) 88.
(C) 84.
(D) 91.
(E) 98.
Resolução
Iniciamos a resolução dessa questão calculando a diferença 107 – 8 = 99.
Essa informação será usada para obtermos a razão dessa PA. Como temos uma diferença entre o primeiro e o último termo igual a 99 e sabendo que a razão é inteira e positiva, a razão será um divisor de 99.
D(99) = {1, 3, 9, 11, 33, 99}
A quantidade de termos de acordo com as possíveis razões obtidas entre os divisores de 99 é igual ao resultado da divisão de 99 pela razão somado com 1. (Essa relação em que adicionamos 1 ao quociente, pode parecer anti-intuitiva, mas pense no caso extremo da razão ser 99, nesse caso teríamos dois termos o 8 e 8+99 = 107).
Vamos colocar a quantidade de termos em forma de tabela:
| Razão | (99 ÷ Razão) | Nº Termos |
|---|---|---|
| 1 | 99÷1=99 | 100 |
| 3 | 99÷3=33 | 34 |
| 9 | 99÷9=11 | 12 |
| 11 | 99÷11=9 | 10 |
| 33 | 99÷33=3 | 4 |
| 99 | 99÷99=1 | 2 |
Com essa tabela e, sabendo que a PA tem mais de 20 e menos que 50 termos, podemos afirmar que essa PA tem razão igual a três.
Usando a fórmula \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\) e sabendo que: \(\begin{cases} n = 31 \\ a_1 = 8 \\ r =3 \end{cases}\).
Teremos:
\(a_{31} = 8 + (31-1) \cdot 3\)
\(a_{31} = 8 + (30) \cdot 3\)
\(a_{31} = 8 +90 = \fbox{98}\)
Portanto, o trigésimo primeiro termo dessa PA é o número 98.
Alternativa (E) 98.
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