Considere a equação quadrática x² – 4x + c = 0, sendo c um número real que faça com que a equação tenha duas raízes reais distintas não negativas. Sendo assim, o conjunto de todos os valores reais que c pode assumir, e somente eles, é tal que
(A) 0 ≤ c < 4
(B) c ≤ 4
(C) c > 4
(D) c ≥ 4
(E) – 4 ≤ c < 4
Resolução
Na equação \(x^2 – 4x + c = 0\), como temos o coeficiente de \(x^2\) igual a 1, a soma das raízes dessa equação será igual a 4 e o produto das raízes igual a \(c\).
Como a soma das raízes é um número positivo (4), é impossível que as duas raízes sejam negativas, porém existe a possibilidade de que uma raiz seja positiva e a outra negativa. Isso somente ocorreria com \(c<0\) e, como esse caso é justamente o que deve ser descartado, teremos \(c \geq 0 \leftrightarrow 0 \leq c \).
Para que as raízes da equação sejam distintas, o seu discriminante \( (\Delta) \) deve ser maior do que zero.
\[ \Delta = b^2- 4ac\]
\[ \Delta = (-4)^2- 4\cdot 1 \cdot c\]
\[ \Delta = 16-4c\]
\[ \Delta > 0 \to 16-4c > 0\]
\[ 16 > 4c \]
\[ \dfrac{16}{4} > c\]
\[ 4 > c \leftrightarrow c<4\]
Portanto, para que a equação tenha duas raízes reais distintas não negativas, devemos ter \( 0 \leq c < 4\).
Gabarito
Alternativa (A) 0 ≤ c < 4
💡 Dica do Professor LG
O caso extremo \(c = 0\) transformaria a equação em \(x^2-4x=0\), com raízes 0 e 4 (distintas e não negativas).
O caso extremo \(c = 4\) transformaria a equação em \(x^2 – 4x + 4 = 0\) e teríamos um trinômio quadrado perfeito no lado esquerdo da equação, podendo ser reescrita como \( (x-2)^2 = 0\) e, nesse caso, as duas raízes não seriam distintas.