Seja \(k\) um número real e \( \begin{cases} y = kx + 14 \\ y = x + 28 \end{cases} \)um sistema de equações nas incógnitas \(x\) e \(y\). Os valores de \(k\) para que a solução gráfica desse sistema pertença ao interior do terceiro quadrante do plano cartesiano são dados pelo intervalo
(A) \( -1 < k < 0\)
(B) \( \dfrac{1}{2} < k < 1 \)
(C) \( -1 < k < -\dfrac{1}{2}\)
(D) \( k< – \dfrac{1}{2} \)
(E) \( k<1\)
Resolução
Como o enunciado pede que a solução gráfica do sistema pertença ao interior do terceiro quadrante, devemos ter, como solução, um par ordenado \( (x,y)\) tal que \(x< 0 \) e \(y<0\).
No sistema \( \begin{cases} y = kx + 14 \\ y = x + 28 \end{cases} \), temos \(y\) isolado em ambas as equações, logo, podemos igualar o lado direito de ambas, o que nos dará:
\[kx+14=x+28 \\ kx-x = 28-14 \\ x(k-1) = 14 \]
Antes de isolar \(x\) vamos analisar essa equação \(x(k-1) = 14\)
Temos um produto com dois fatores \(x\) e \((k-1)\) resultando em 14, que é um número positivo, logo \(x\) e \((k-1)\) possuem o mesmo sinal.
Como, por exigência do enunciado, devemos ter \(x<0\), consequentemente \((k-1)<0 \Rightarrow k<1\).
Voltando ao desenvolvimento:
\[ x(k-1) = 14 \Rightarrow x = \dfrac{14}{k-1}\]
Agora, vamos trabalhar com a equação \(y = x + 28\) com a exigência de que \(y<0\) e, também sabendo obter \(x\) em função de\(k\)
\[ y < 0 \Rightarrow x+28 < 0\]
Substituindo \(x\), teremos:
\[ \dfrac{14}{k-1} + 28 < 0 \\ \dfrac{14}{k-1} < -28 \]
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por \((k-1) < 0\):
💡 Dica do Professor LG
O fato de \((k-1) < 0\) implica que devemos mudar o sentido da desigualdade de < para >.
\[14 > -28(k-1) \\ 14 > -28k + 28 \\ 28k > 28-14 \\ 28k > 14 \\ k> \dfrac{14}{28} \\ k>\dfrac{1}{2}\]
A partir desses dois resultados \( k< 1\) e \( k > \dfrac{1}{2}\), conseguimos o intervalo para \(k\).
\[ \dfrac{1}{2} < k < 1\]
Gabarito
Alternativa (B) \( \dfrac{1}{2} < k < 1 \)