A figura indica os gráficos de uma reta \(r\) e uma senoide s, de equações \(y = \dfrac{5}{2}\) e \( y = 1 + 3 \operatorname{sen} (2x)\), em um plano cartesiano de eixos ortogonais.
Sendo \(P\) um ponto de intersecção dos gráficos, conforme mostra a figura, sua abscissa, convertida para graus, é igual a
(A) 275º
(B) 240º
(C) 225º
(D) 210º
(E) 195º
Resolução
Como buscamos uma intersecção vamos igualar as funções \( \begin{cases} y = \dfrac{5}{2} \\ y = 1 + 3 \operatorname{sen} (2x) \end{cases} \)
\[\begin{align} 1 + 3 \operatorname{sen}(2x) = \dfrac{5}{2} & \qquad \text{Subtraindo 1 de ambos os lados} \\ 3 \operatorname{sen}(2x) = \dfrac{5}{2} – 1 & \qquad \text{Calculando a diferença no lado esquerdo} \\ 3 \operatorname{sen}(2x) = \dfrac{5-2}{2} & \\ \\ 3 \operatorname{sen}(2x) = \dfrac{3}{2} & \qquad \text{Dividindo ambos os lados por 3} \\ \operatorname{sen}(2x) = \dfrac{1}{2} &\end{align}\]
No ciclo trigonométrico, temos
\[ \operatorname{sen} (30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}) = \dfrac{1}{2} \]
ou
\[ \operatorname{sen} (150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}) = \dfrac{1}{2} \]
\[k \in \mathbb{Z}\]
Logo,
\[ 2x = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \]
\[ x = \dfrac{30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}}{2} \]
\[ x = 15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \]
ou
\[ 2x = 150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \]
\[ x = \dfrac{150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}}{2} \]
\[ x = 75^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \]
Vamos testar valores inteiros para \(k\), atentos ao fato de que nas alternativas temos um intervalo de 195° até 275°.
Não precisamos testar \(k = 0\), pois não alcançaria o intervalo (195°, 275°)
Para \(k = 1\), temos:
\[ x = 15^{\circ} + 1 \cdot 180^{\circ} = 195^{\circ} \]
\[ x = 75^{\circ} + 1 \cdot 180^{\circ} = 255^{\circ} \]
Obtivemos 195°, que é um valor pertencente às alternativas.
Também é desnecessário testar \(k \geq 2\), pois, neste caso, teríamos valores acima do intervalo de alternativas.
💡 Dica do Professor LG
Observe no gráfico que queremos a terceira intersecção para \(x \geq 0\).
O que reforça não ser necessário \(k = 0\), pois isso nos daria as duas primeiras intersecções.
Na sequência, \( k = 1\) nos dá a terceira e a quarta intersecção.
Gabarito
Alternativa (E) 195º