De acordo com a relação de Euler, em qualquer poliedro convexo o número de arestas supera em 2 unidades a soma do número de faces com o número de vértices. Em um dodecaedro regular, que é um poliedro de 20 vértices e 12 faces regulares idênticas, suas faces são polígonos regulares de
(A) 5 lados.
(B) 15 lados.
(C) 12 lados.
(D) 10 lados.
(E) 6 lados.
Resolução
Apesar do enunciado dizer que número de arestas supera em 2 unidades a soma do número de faces com o número de vértices, a relação de Euler pode ser corretamente escrita como:
\[A = V + F – 2 \]
No dodecaedro temos: \( \begin{cases} V = 20 \\ F = 12 \end{cases} \)
Substituindo esses valores na fórmula:
\[A = 12 + 20 – 2\]
\[ A = 32 – 2 \]
\[ A = 30\]
Com essas informações podemos obter o número de lados do polígono que forma a face do dodecaedro.
Seja \(n\) o número de lados desse polígono. Como cada aresta é compartilhada por duas faces do dodecaedro, temos a seguinte relação:
\[ F \cdot n = 2 \cdot A\]
Substituindo os valores conhecidos:
\[ 12 \cdot n = 2 \cdot 30\]
\[ 12 \cdot n = 60\]
\[ n= \dfrac{60}{12} \]
\[ n = \fbox{5}\]
Portanto, o dodecaedro é formado por 12 faces pentagonais.
Gabarito
Alternativa (A) 5 lados.