Os polígonos regulares de 4, 6 e n lados, indicados na figura por P4, P6 e Pn, possuem o vértice Q em comum e, dois a dois, compartilham um lado.
Na situação descrita, n é igual a
(A) 10.
(B) 24.
(C) 12.
(D) 9.
(E) 15.
Resolução
Usando a fórmula dos ângulos internos de um polígono regular \( a_{in} = \dfrac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}\), temos
P4 (Quadrado):
\[ n = 4 \to a_{i4} = \dfrac{(4-2) \cdot 180^{\circ}}{4} \]
\[a_{i4} = \dfrac{(2) \cdot 180^{\circ}}{4} \]
\[a_{i4} = \dfrac{360^{\circ}}{4} \]
\[a_{i4} = 90^{\circ} \]
P6 (Hexágono):
\[ n = 6 \to a_{i6} = \dfrac{(6-2) \cdot 180^{\circ}}{6} \]
\[a_{i6} = \dfrac{(4) \cdot 180^{\circ}}{6} \]
\[a_{i6} = \dfrac{720^{\circ}}{6} \]
\[a_{i6} = 120^{\circ} \]
Como a soma dos ângulos internos de P4, P6 e Pn formam um círculo completo, teremos
\[ a_{in} + 90^{\circ} + 120^{\circ} = 360^{\circ} \]
\[ a_{in} + 210^{\circ} = 360^{\circ} \]
\[ a_{in} = 360^{\circ} – 210^{\circ} \]
\[ a_{in} = 150^{\circ}\]
Voltamos à fórmula \( a_{in} = \dfrac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}\) para obter o valor de n.
\[ \dfrac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n} = 150^{\circ}\]
\[ (n-2)\cdot 180^{\circ}= 150^{\circ}\cdot n \]
\[ 180^{\circ} \cdot n – 360^{\circ} = 150^{\circ} \cdot n \]
\[ 180^{\circ} \cdot n – 150^{\circ} \cdot n = 360^{\circ} \]
\[ 30^{\circ} \cdot n = 360^{\circ} \]
\[ n = \dfrac{360^{\circ}}{30^{\circ}}\]
\[ n = \fbox{12} \]
Portanto Pn é um dodecágono, ou seja, um polígono de 12 lados
Gabarito
Alternativa (C) 12.
Uma forma alternativa seria prolongar o lado de P4 e formar um triângulo isósceles com dois lados de P6 conforme a figura.
Como já sabemos que o ângulo interno de P6 é 120°, os ângulos congruentes do triângulo isósceles serão de 30°, e um desses ângulos de 30° é justamente um ângulo externo de Pn.
Usando a fórmula de ângulos externos em polígonos regulares \(a_{en} = \dfrac{360^{\circ}}{n} \), teremos:
\[30^{\circ} = \dfrac{360^{\circ}}{n} \]
\[ n = \dfrac{360^{\circ}}{ 30^{\circ}} \]
\[ n = \fbox{12} \]
Confirmando o nosso gabarito
Alternativa (C) 12.