Em determinado grupo de pessoas, 40% praticam atividade física e 65% têm idade superior a 20 anos. Apenas \( \dfrac{3}{13}\) dos que têm idade superior a 20 anos praticam atividade física.
A probabilidade de uma pessoa desse grupo com até 20 anos não praticar atividade física é
(A) \( \dfrac{5}{11} \)
(B) \( \dfrac{3}{8} \)
(C) \( \dfrac{4}{9} \)
(D) \( \dfrac{2}{7} \)
(E) \( \dfrac{6}{13} \)
Resolução
Vamos chamar de \(F\) as pessoas que praticam atividade física e \(\overline{F}\) seu complemento, ou seja, as pessoas que não praticam atividade física e de \(M\) as pessoas com idade superior a vinte anos e, consequentemente \( \overline{M} \) as pessoas com até vinte anos.
Como os dados do enunciado trazem informações em porcentagens, admitiremos que haja um total de 100 pessoas nesse grupo, distribuídas em uma tabela de dupla entrada da seguinte forma.
| \(M\) | \( \overline{M} \) | Total | |
| \(F\) | 40 | ||
| \(\overline{F}\) | |||
| Total | 65 | 100 |
Complementando os valores totais para chegar no total 100:
| \(M\) | \( \overline{M} \) | Total | |
| \(F\) | 40 | ||
| \(\overline{F}\) | 60 | ||
| Total | 65 | 35 | 100 |
Agora, vamos usar o fato que apenas \( \dfrac{3}{13}\) dos que têm idade superior a 20 anos praticam atividade para descobrir o valor com o qual preencheremos a célula com esse cruzamento de características.
\[ \dfrac{3}{13} = \dfrac{x}{65} \]
\[13x = 3 \cdot 65\]
\[ 13x = 195\]
\[x = \dfrac{195}{13}\]
\[ x = \fbox{15}\]
| \(M\) | \( \overline{M} \) | Total | |
| \(F\) | 15 | 40 | |
| \(\overline{F}\) | 60 | ||
| Total | 65 | 35 | 100 |
Com essa informação, podemos completar a tabela.
| \(M\) | \( \overline{M} \) | Total | |
| \(F\) | 15 | 25 | 40 |
| \(\overline{F}\) | 50 | 10 | |
| Total | 65 | 35 | 100 |
Queremos a probabilidade de uma pessoa desse grupo com até 20 anos não praticar atividade física, ou seja, dentre as pessoas com até 20 anos buscaremos as que não praticam atividade física.
\[ P(\overline{F} | \overline{M} ) =\dfrac{P(\overline{F} \cap \overline{M} )}{P (\overline{M})} \]
\[ P(\overline{F} | \overline{M} ) =\dfrac{n(\overline{F} \cap \overline{M} )}{n (\overline{M})} \]
Como \({n(\overline{F} \cap \overline{M}) = 10}\) e \(n (\overline{M}) = 35 \), temos:
\[ P(\overline{F} | \overline{M} ) =\dfrac{10}{35} = \dfrac{2}{7} \]
Gabarito
Alternativa: (D) \( \dfrac{2}{7} \)